Как найти производную первого порядка функции y = F(x), заданной неявно уравнением y + x = arctg(xy)?

Yantarka_1395

3

Хорошо, давайте начнем с решения данной задачи. Для того чтобы найти производную первого порядка неявно заданной функции, нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции, также известное как правило дифференцирования неявной функции.

Для удобства, давайте обозначим нашу неявно заданную функцию y = F(x). Мы знаем, что y + x = arctg(xy).

Шаг 1: Перепишем данное уравнение в виде:

y = arctg(xy) - x

Шаг 2: Продифференцируем обе части уравнения по переменной x. Здесь используем правило дифференцирования сложной функции:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d(arctg(xy) - x)}}{{dx}}\]

Для удобства вычислений, разобьем выражение на две части:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d(arctg(xy))}}{{dx}} - \frac{{dx}}{{dx}}\]

Шаг 3: Продифференцируем первую часть выражения с помощью правила дифференцирования сложной функции:

\[\frac{{d(arctg(xy))}}{{dx}} = \frac{{d(arctg(u))}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}\]

где u = xy.

Производная функции arctg(u) равна:

\[\frac{{d(arctg(u))}}{{du}} = \frac{1}{{1 + u^2}}\]

Дифференцируя u = xy по x, получаем:

\[\frac{{du}}{{dx}} = y + x \cdot \frac{{dy}}{{dx}}\]

Шаг 4: Подставим найденные значения в наше уравнение:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{1 + (xy)^2}} \cdot (y + x \cdot \frac{{dy}}{{dx}}) - 1\]

Шаг 5: Перегруппируем выражение, чтобы найти производную:

\[\frac{{dy}}{{dx}} - x \cdot \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{1 + (xy)^2}} - 1\]

\[\frac{{dy}}{{dx}}(1 - x) = \frac{1}{{1 + (xy)^2}} - 1\]

Шаг 6: Выразим производную \(\frac{{dy}}{{dx}}\):

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{1}{{1 + (xy)^2}} - 1}}{{1 - x}}\]

Вот и все! Мы нашли производную первого порядка для функции y = F(x), заданной неявно уравнением y + x = arctg(xy).

Будьте внимательны при выполнении вычислений и проверке ответов. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.