Как найти производную сложной функции: ctg

Сквозь_Туман

56

Конечно, я могу помочь вам разобраться с производной сложной функции ctg. Давайте начнем с определения производной функции.

Производная функции показывает, как быстро изменяется значение функции при изменении ее аргумента. В случае сложных функций, таких как ctg(x), мы можем использовать правило производной сложной функции, называемое правилом цепочки, чтобы найти производную.

Правило цепочки гласит: если у нас есть функция \(f(g(x))\), то производная этой функции определяется как произведение производной внешней функции \(f"(g(x))\) и производной внутренней функции \(g"(x)\). Математически это записывается как:

\(\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f"(g(x)) \cdot g"(x)\)

Для нашей задачи, мы имеем функцию \(f(x) = ctg(x)\), которая внутри содержит функцию \(g(x) = x\).

Теперь, давайте найдем производную функции \(f(x)\) по шагам, используя правило цепочки:

Шаг 1: Найдем производную функции \(g(x) = x\).
Поскольку функция \(g(x)\) является простой линейной функцией, ее производная равна 1.
Таким образом, \(g"(x) = 1\).

Шаг 2: Найдем производную функции \(f(x) = ctg(x)\).
Для этого нам понадобится знать производную функции ctg(x) по отдельности.
Формула для производной ctg(x) выглядит следующим образом:

\(\frac{d}{dx}(ctg(x)) = -\frac{1}{sin^2(x)}\)

Поэтому \(f"(x) = -\frac{1}{sin^2(x)}\).

Шаг 3: При применении правила цепочки, производная сложной функции ctg(x) равна произведению производной внешней функции \(f"(x)\) и производной внутренней функции \(g"(x)\):
\(\frac{d}{dx}(ctg(x)) = f"(g(x)) \cdot g"(x)\)

Таким образом, производная ctg(x) равна:
\(\frac{d}{dx}(ctg(x)) = -\frac{1}{sin^2(x)} \cdot 1\)

Мы можем сократить это до:
\(\frac{d}{dx}(ctg(x)) = -\frac{1}{sin^2(x)}\).

Итак, производная ctg(x) равна \(-\frac{1}{sin^2(x)}\).

Надеюсь, это понятно для школьника. Если у вас возникнут вопросы или вам потребуется дополнительное пояснение, не стесняйтесь обращаться!