Как найти радиус описанной окружности треугольника ABC, если известно, что сторона AC равна 15, а cos(ABC) равно корню

Золотой_Горизонт

6

Чтобы найти радиус описанной окружности треугольника ABC, мы можем использовать закон синусов и закон косинусов.

Закон косинусов гласит: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]
где c - сторона, противолежащая углу C, а a и b - стороны, образующие угол C.

В данном случае нам известна сторона AC, равная 15, и cos(ABC), равное \(\sqrt{\frac{11}{6}}\). Нам нужно найти радиус описанной окружности, поэтому угол ABC является внешним углом треугольника, и мы можем использовать закон косинусов.

Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R. Тогда сторона AB будет равна 2Rsin(ABC), так как сторона AB является диаметром окружности.

Используя закон косинусов для треугольника ABC, мы можем записать:
\[15^2 = (2R\sin(ABC))^2 + BC^2 - 2 \cdot 2R\sin(ABC) \cdot BC \cdot \cos(ABC)\]

Раскроем скобки:
\[225 = 4R^2\sin^2(ABC) + BC^2 - 4R\sin(ABC) \cdot BC \cdot \cos(ABC)\]

Учитывая, что \(\sin^2(ABC) = 1 - \cos^2(ABC)\), подставим значение \(\cos(ABC) = \sqrt{\frac{11}{6}}\):
\[225 = 4R^2(1-\cos^2(ABC)) + BC^2 - 4R\sin(ABC) \cdot BC \cdot \cos(ABC)\]

Упростим:
\[225 = 4R^2 - 4R^2\cos^2(ABC) + BC^2 - 4R\sin(ABC) \cdot BC \cdot \cos(ABC)\]

Заметим, что \(BC\) в данной задаче является неизвестным значением, а \(R\) - то, что мы хотим найти. Однако, у нас есть информация о соотношении между \(BC\) и \(AC\).

Треугольник ABC - прямоугольный, поэтому мы можем использовать тригонометрический тождество:
\(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\)

Применяя это тождество, мы можем записать:
\[BC^2 = AC^2 - AB^2\]

Заменим \(BC^2\) в изначальном уравнении:
\[225 = 4R^2 - 4R^2\cos^2(ABC) + AC^2 - AB^2 - 4R\sin(ABC) \cdot AC \cdot \cos(ABC)\]

Подставим значение известных данных: \(AC = 15\), \(\cos(ABC) = \sqrt{\frac{11}{6}}\) и \(AB = 2R\sin(ABC)\):
\[225 = 4R^2 - 4R^2 \left(\sqrt{\frac{11}{6}}\right)^2 + 15^2 - (2R\sin(ABC))^2 - 4R\sin(ABC) \cdot 15 \cdot \sqrt{\frac{11}{6}}\]

Упростим:
\[225 = 4R^2 - \frac{44}{6}R^2 + 225 - 4R^2\sin^2(ABC) - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Так как \(\sin^2(ABC) = 1 - \cos^2(ABC)\), упростим еще раз:
\[225 = 4R^2 - \frac{44}{6}R^2 + 225 - 4R^2(1-\sqrt{\frac{11}{6}}^2) - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Упростим:
\[225 = 4R^2 - \frac{44}{6}R^2 + 225 - 4R^2\left(1 - \frac{11}{6}\right) - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Вычислим значения:
\[225 = 4R^2 - \frac{11}{3}R^2 + 225 - 4R^2\left(\frac{1}{6}\right) - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Приведем подобные слагаемые:
\[225 = 4R^2\left(1 - \frac{11}{3} + \frac{1}{6}\right) - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Сократим дроби:
\[225 = 4R^2\left(\frac{12}{6} - \frac{22}{6} + \frac{1}{6}\right) - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Сложим числители:
\[225 = 4R^2 \cdot \frac{-9}{6} - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Упростим:
\[225 = -6R^2 - 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}}\]

Перепишем уравнение в более удобной форме:
\[6R^2 + 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}} = -225\]

Для того чтобы продолжить решение, нам нужны значения \(\sin(ABC)\) и \(\cos(ABC)\). Однако, мы уже знаем, что \(\cos(ABC) = \sqrt{\frac{11}{6}}\). Нам нужно найти \(\sin(ABC)\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC и соотношением \(\cos^2(ABC) + \sin^2(ABC) = 1\).

По теореме Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставим известные значения:
\[15^2 = (2R\sin(ABC))^2 + BC^2\]

Раскроем скобки:
\[225 = 4R^2\sin^2(ABC) + BC^2\]

Так как \(BC^2 = AC^2 - AB^2\), подставим:
\[225 = 4R^2\sin^2(ABC) + AC^2 - AB^2\]

Подставим известные значения:
\[225 = 4R^2\sin^2(ABC) + 15^2 - (2R\sin(ABC))^2\]

Упростим:
\[225 = 4R^2\sin^2(ABC) + 225 - 4R^2\sin^2(ABC)\]

Сократим слагаемые:
\[225 = 225\]

Таким образом, мы видим, что уравнение верно для любого значения \(\sin(ABC)\). Поэтому эта информация нам не поможет в решении.

Обратимся снова к уравнению:
\[6R^2 + 60R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}} = -225\]

Разделим обе части уравнения на 6:
\[R^2 + 10R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}} = -\frac{225}{6}\]

Упростим:
\[R^2 + 10R\sin(ABC)\sqrt{\frac{11}{6}} = -\frac{225}{6}\]

Теперь, чтобы найти значения радиуса, нам нужно решить полученное квадратное уравнение. Для этого подставим значение \(\sin(ABC) = \sqrt{\frac{11}{6}}\):
\[R^2 + 10R\sqrt{\frac{11}{6}} \cdot \sqrt{\frac{11}{6}} = -\frac{225}{6}\]

Упростим:
\[R^2 + 10R \cdot \frac{11}{6} = -\frac{225}{6}\]

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя:
\[6R^2 + 10R \cdot 11 = -225\]

Упростим:
\[6R^2 + 110R = -225\]

Получили квадратное уравнение, которое можно решить методами квадратного трехчлена. Чтобы найти значения радиуса, воспользуйтесь формулами:
\[R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где a = 6, b = 110, c = -225.

Подставим значения в формулу и решим уравнение.