Как найти решение данной системы линейных уравнений: {8х+5у=-1, 10х-3у=8?

Sverkayuschiy_Gnom_2556

55

Хорошо, начнем с разбора вашей системы линейных уравнений. У вас есть два уравнения:
\[8x+5y=-1\]
\[10x-3y=8\]
Мы можем решить эту систему методом замены, методом исключения или используя матрицы. Я покажу вам решение с помощью метода исключения.

1. Метод исключения:
Мы можем умножить первое уравнение на 10 и второе уравнение на 8, чтобы избавиться от коэффициента x.

Умножим первое уравнение на 10:
\[10(8x+5y) = 10(-1)\]
\[80x+50y=-10\]

Умножим второе уравнение на 8:
\[8(10x-3y)=8(8)\]
\[80x-24y=64\]

2. Теперь мы можем сложить эти два уравнения, чтобы исключить x. Получится:
\[(80x + 50y) + (80x - 24y) = -10 + 64\]
\[160x + 26y = 54\]

3. Итак, мы получили новое уравнение без x. Теперь решим его относительно y.

Разделим оба коэффициента на 26:
\[\frac{{160x+26y}}{{26}} = \frac{{54}}{{26}}\]

Это даст нам:
\[6x + y = \frac{{27}}{{13}}\]

4. Теперь давайте вернемся к одному из исходных уравнений и решим его относительно x или y, используя новое уравнение, которое мы получили на шаге 3.

Можем использовать первое уравнение:
\[8x + 5y = -1\]

Умножим уравнение \(6x + y = \frac{{27}}{{13}}\) на 8:
\[8(6x+y) = 8\left(\frac{{27}}{{13}}\right)\]
\[48x + 8y = \frac{{216}}{{13}}\]

5. Мы получили еще одно уравнение без x. Теперь сложим это новое уравнение с первым уравнением:
\[(8x+5y) + (48x+8y) = -1 + \frac{{216}}{{13}}\]
\[56x + 13y = \frac{{205}}{{13}}\]

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[6x + y = \frac{{27}}{{13}}\]
\[56x + 13y = \frac{{205}}{{13}}\]

7. Решим эту систему методом исключения. Умножим первое уравнение на 13, а второе уравнение на 1:
\[13(6x+y) = 13\left(\frac{{27}}{{13}}\right)\]
\[78x + 13y = 27\]

\[(56x + 13y) - (78x + 13y) = \frac{{205}}{{13}} - 27\]
\[-22x = \frac{{242 - 351}}{{13}}\]
\[-22x = -\frac{{109}}{{13}}\]

8. Теперь найдем значение x, разделив оба коэффициента на -22:
\[x = \frac{{109}}{{286}}\]

9. Подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:
\[8\left(\frac{{109}}{{286}}\right) + 5y = -1\]
\[\frac{{872}}{{286}} + 5y = -1\]
\[5y = -1 - \frac{{872}}{{286}}\]
\[5y = -\frac{{2158}}{{286}} - \frac{{872}}{{286}}\]
\[y = -\frac{{3030}}{{1430}}\]

10. Итак, получили значение x и y:
\[x = \frac{{109}}{{286}}\]
\[y = -\frac{{3030}}{{1430}}\]

Таким образом, решение данной системы линейных уравнений состоит из x = \(\frac{{109}}{{286}}\) и y = -\(\frac{{3030}}{{1430}}\).