Как найти решение для системы уравнений 1/x + 1/y = 7 x + 5xy

Тропик

55

Хорошо, давайте решим эту систему уравнений пошагово. Первым шагом будет привести уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дроби.

Мы имеем систему уравнений:

\[
\begin{align*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= 7 \\
x + 5xy &= 0
\end{align*}
\]

Давайте начнем с первого уравнения. Приведем его к общему знаменателю, умножив оба его члена на \(xy\). Тогда у нас будет:

\[
xy \cdot \frac{1}{x} + xy \cdot \frac{1}{y} = 7xy
\]

\[
y + x = 7xy
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
y + x &= 7xy \\
x + 5xy &= 0
\end{align*}
\]

Далее, можно решить второе уравнение относительно одной переменной и подставить этот результат в первое уравнение. Таким образом, мы избавимся от одной переменной.

Второе уравнение \(x + 5xy = 0\) можно переписать в виде:

\[
x(1 + 5y) = 0
\]

Уравнение будет верным только в двух случаях: либо \(x = 0\), либо \(1 + 5y = 0\).

Если \(x = 0\), то из первого уравнения следует:

\[
y = \frac{1}{7}
\]

Таким образом, одно из решений системы - это \(x = 0\) и \(y = \frac{1}{7}\).

Если же \(1 + 5y = 0\), то \(y = -\frac{1}{5}\). Подставим этот результат в первое уравнение:

\[
x + \frac{1}{y} = 7
\]

\[
x + \frac{1}{-\frac{1}{5}} = 7
\]

\[
x - 5 = 7
\]

\[
x = 12
\]

Таким образом, во втором случае решение системы будет \(x = 12\) и \(y = -\frac{1}{5}\).

В итоге, получаем два решения этой системы уравнений:

1) \(x = 0\), \(y = \frac{1}{7}\)
2) \(x = 12\), \(y = -\frac{1}{5}\)

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам лучше понять, как найти решение для данной системы уравнений.