Докажите, что при условии a> 0, значение выражения 3a+2/4 больше или равно 6a/3a+2

Grigoriy

6

Давайте пошагово решим данную задачу.

1. Дано выражение: \(3a+\frac{2}{4}\) и неравенство \(6a \geq \frac{6a}{3a+2}\), при условии \(a > 0\).

2. Для начала выполним вычисления в исходном выражении: \(3a+\frac{2}{4} = 3a + \frac{1}{2}\).

3. Теперь рассмотрим неравенство. Упростим его, умножив обе стороны на \(3a+2\), получаем \(6a \cdot (3a+2) \geq 6a\).

4. Раскроем скобки в левой части неравенства: \(18a^2 + 12a \geq 6a\).

5. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартной форме: \(18a^2 + 12a - 6a \geq 0\).

6. Сократим подобные члены: \(18a^2 + 6a \geq 0\).

7. Разделим все слагаемые на 6: \(3a^2 + a \geq 0\).

8. Рассмотрим функцию \(f(a) = 3a^2 + a\). Чтобы показать, что она всюду неотрицательна, найдем ее вершины и дискриминант.

9. Вершина параболы может быть найдена через формулу \(a_v = -\frac{b}{2a}\), где \(a = 3\) и \(b = 1\).

10. Подставим значения в формулу: \(a_v = -\frac{1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}\).

11. Продифференцируем функцию, чтобы найти экстремумы: \(f"(a) = 6a + 1\).

12. Подставим значение \(a_v\) в производную: \(f"(-\frac{1}{6}) = 6 \cdot (-\frac{1}{6}) + 1 = 0\).

13. Дискриминант равен \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 1\) и \(c = 0\).
Подставим значения в формулу: \(D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 1\).

14. Так как дискриминант положительный, это означает, что парабола открывается вверх и вершина является минимумом функции.

15. Вершина лежит выше оси абсцисс, следовательно, функция положительна или равна нулю для любых значений \(a\).

16. Таким образом, мы доказали, что \(3a+\frac{2}{4} \geq \frac{6a}{3a+2}\) для любого положительного значения \(a\).