Как найти решение для следующих систем логарифмических уравнений: log2(x+y)=3 и log15x=1-log15y?

Zolotoy_Drakon

38

Хорошо, давайте решим систему логарифмических уравнений пошагово.

Первое уравнение: \(\log_{2}(x+y) = 3\)

Чтобы решить это уравнение, нам нужно применить логарифмический закон, который гласит: если \(\log_{a}b = c\), то \(a^{c} = b\). В нашем случае, \(a = 2\), \(b = x+y\) и \(c = 3\).

Используя этот закон, мы можем записать уравнение в эквивалентной степенной форме:

\[2^{3} = x+y\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[8 = x+y\]

Таким образом, первое уравнение сводится к уравнению \(x + y = 8\).

Теперь перейдем ко второму уравнению: \(\log_{15}x = 1 - \log_{15}y\).

Для этого уравнения нам понадобится логарифмический закон изменения знака, который гласит: \(\log_{a}b = -\log_{a}c\), то есть \(\log_{a}b = \log_{a}\left(\frac{1}{c}\right)\). В нашем случае, \(a = 15\), \(b = x\) и \(c = y\).

Применяя этот закон, мы получаем:

\(\log_{15}x = \log_{15}\left(\frac{1}{y}\right)\)

Используя свойство равенства логарифмов, получаем:

\(x = \frac{1}{y}\)

Таким образом, второе уравнение сводится к уравнению \(x = \frac{1}{y}\).

Чтобы найти решения системы уравнений, мы подставляем значение \(x\) из второго уравнения в первое:

\(\frac{1}{y} + y = 8\)

Для решения этого уравнения сначала умножим обе части на \(y\), чтобы избавиться от дробей:

\(1 + y^{2} = 8y\)

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду:

\(y^{2} - 8y + 1 = 0\)

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение, прямую формулу, или завершить квадрат. Давайте воспользуемся прямой формулой:

\[y=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1} = \frac{8\pm \sqrt{64-4}}{2} = \frac{8\pm \sqrt{60}}{2} = 4\pm \sqrt{15}\]

Получили два решения для уравнения \(y\). Теперь давайте найдем соответствующие значения \(x\), подставив эти значения \(y\) во второе уравнение:

Для \(y = 4 + \sqrt{15}\):
\[x = \frac{1}{y} = \frac{1}{4 + \sqrt{15}}\]

Для \(y = 4 - \sqrt{15}\):
\[x = \frac{1}{y} = \frac{1}{4 - \sqrt{15}}\]

Итак, решение системы логарифмических уравнений состоит из двух пар значений: \((x, y) = \left(\frac{1}{4 + \sqrt{15}}, 4 + \sqrt{15}\right)\) и \((x, y) = \left(\frac{1}{4 - \sqrt{15}}, 4 - \sqrt{15}\right)\).

Надеюсь, этот ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.