Какие значения x удовлетворяют неравенству sinx ≥ -0.5?

Kiska

53

Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(\sin x \geq -0.5\), мы должны рассмотреть ограничения, с которыми функция синуса принимает значение \(-0.5\). Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Определить интервалы значений аргумента \(x\).

Значение \(\sin x\) может лежать в диапазоне от -1 до 1. Из заданного неравенства \(\sin x \geq -0.5\) следует, что мы ищем значения \(x\), при которых \(\sin x\) больше или равно -0.5. Интервал значений можно определить, рассмотрев, в каких диапазонах функция синуса принимает значения ниже -0.5.

Шаг 2: Определить углы, при которых \(\sin x\) принимает значение -0.5.

Известно, что \(\sin x\) принимает значение -0.5 в следующих двух углах: \(-\frac{\pi}{6}\) (или -30 градусов) и \(-\frac{7\pi}{6}\) (или -210 градусов). Это соответствует точкам на единичной окружности, где значение y-координаты равно -0.5.

Шаг 3: Определить интервалы, в которых \(\sin x \geq -0.5\).

Теперь мы знаем, что \(\sin x\) равно или больше -0.5 в углах \(-\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{7\pi}{6}\). Чтобы найти другие значения \(x\), удовлетворяющие неравенству, мы должны рассмотреть другие углы, для которых \(\sin x\) принимает значение больше -0.5. Поскольку функция синуса является периодической, мы можем добавить к углам \(-\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{7\pi}{6}\) любое целое количество полных оборотов \((2\pi)\) или такое число полных оборотов, которое приводит значение \(\sin x\) к -0.5.

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(\sin x \geq -0.5\), будут находиться в интервалах:

\[
x \geq -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x \leq -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k
\]

где \(k\) — целое число.

Шаг 4: Проверка интервалов.

Мы можем проверить некоторые значения \(x\), попадающие в данные интервалы, чтобы убедиться в их правильности. Например, для \(k = 0\), значения \(x\), удовлетворяющие данному неравенству, будут в интервале:

\[
-\frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 \leq x \leq -\frac{7\pi}{6} + 2\pi \cdot 0
\]

\[
-\frac{\pi}{6} \leq x \leq -\frac{7\pi}{6}
\]

Подставив в неравенство \(\sin x \geq -0.5\) значения \(x\) из этого интервала, мы увидим, что они удовлетворяют неравенству.

Проделав аналогичные шаги для других значений \(k\), мы можем убедиться, что полученные интервалы корректны и включают все значения \(x\), удовлетворяющие исходному неравенству \(\sin x \geq -0.5\).

Данный подробный и обоснованный метод позволяет найти все значения \(x\), удовлетворяющие данному неравенству.