Как найти решение системы уравнений 2x+3y=15 и x-3y=15?

Puteshestvennik_8510

22

Чтобы найти решение системы уравнений \(2x + 3y = 15\) и \(x - 3y = 15\), мы можем использовать метод исключения или метод подстановки. Давайте решим эту систему по обоим методам, чтобы вы могли выбрать способ, который вам больше нравится.

Метод исключения:
1. Начнем с обоих уравнений: \(2x + 3y = 15\) и \(x - 3y = 15\).
2. Чтобы исключить переменную \(y\), умножим второе уравнение на 3: \(3(x - 3y) = 3(15)\). Получим \(3x - 9y = 45\).
3. Теперь сложим это уравнение с первым уравнением: \(2x + 3y + 3x - 9y = 15 + 45\).
4. Упростим левую сторону: \(5x - 6y = 60\).
5. Решим это уравнение относительно переменной \(x\): \(5x = 6y + 60\). Разделим обе части на 5: \(x = \frac{6y + 60}{5}\).

Теперь, когда у нас есть значение \(x\), мы можем найти значение \(y\), подставив \(x\) в одно из исходных уравнений:
\(2 \left( \frac{6y + 60}{5} \right) + 3y = 15\).
Раскроем скобку и упростим:
\(\frac{12y + 120}{5} + 3y = 15\).
Умножим все на 5, чтобы избавиться от знаменателя:
\(12y + 120 + 15y = 75\).
Скомбинируем подобные слагаемые:
\(27y + 120 = 75\).
Теперь переместим 120 на другую сторону:
\(27y = 75 - 120\).
Вычтем:
\(27y = -45\).
Разделим обе стороны на 27:
\(y = \frac{-45}{27}\).

Мы нашли значения \(x\) и \(y\):
\(x = \frac{6y + 60}{5}\) и \(y = \frac{-45}{27}\).

Метод подстановки:
1. Возьмем второе уравнение \(x - 3y = 15\) и решим его относительно переменной \(x\): \(x = 15 + 3y\).
2. Подставим это значение \(x\) в первое уравнение \(2x + 3y = 15\):
\(2(15 + 3y) + 3y = 15\).
Раскроем скобку и упростим:
\(30 + 6y + 3y = 15\).
Скомбинируем подобные слагаемые:
\(9y = 15 - 30\).
Вычтем:
\(9y = -15\).
Разделим обе стороны на 9:
\(y = \frac{-15}{9}\).

Теперь, когда у нас есть значение \(y\), мы можем найти значение \(x\), подставив \(y\) обратно в одно из исходных уравнений.
Давайте подставим \(y = \frac{-15}{9}\) во второе уравнение \(x - 3y = 15\):
\(x - 3 \left( \frac{-15}{9} \right) = 15\).
Сократим дробь:
\(x + \frac{45}{9} = 15\).
Сделаем числитель одним:
\(x + 5 = 15\).
Переместим 5 на другую сторону:
\(x = 15 - 5\).
Вычтем:
\(x = 10\).

Мы нашли значения \(x\) и \(y\):
\(x = 10\) и \(y = \frac{-15}{9}\).

Таким образом, решение системы уравнений \(2x + 3y = 15\) и \(x - 3y = 15\) равно \(x = 10\) и \(y = \frac{-15}{9}\).