Как найти решение системы уравнений: 3х+у+4=0 и х2-у2=2?

Черная_Роза

58

Чтобы найти решение системы уравнений \(3x + y + 4 = 0\) и \(x^2 - y^2 = 2\), нам потребуется использовать метод подстановки. Давайте начнем с первого уравнения:

\[3x + y + 4 = 0 \quad (1)\]

Выразим \(y\) из первого уравнения:

\[y = -3x - 4\]

Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[x^2 - (-3x - 4)^2 = 2\]

Раскроем скобки и упростим выражение. Начнем с вычисления квадрата двух отрицательных чисел:

\[x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2\]

Раскроем скобки:

\[x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2\]

Сгруппируем переменные вместе:

\[-8x^2 - 24x - 18 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого можем использовать формулу:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

В нашем случае, значения коэффициентов a, b и c равны:

\[a = -8, \quad b = -24, \quad c = -18\]

Подставим эти значения в формулу и решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{{-(-24) \pm \sqrt{{(-24)^2 - 4(-8)(-18)}}}}{{2(-8)}}\]

Сократим и упростим выражение:

\[x = \frac{{24 \pm \sqrt{{576 - 576}}}}{{-16}}\]

\[x = \frac{{24 \pm \sqrt{0}}}{{-16}}\]

Корень из 0 равен 0, поэтому у нас получается только одно решение:

\[x = \frac{{24}}{{-16}}\]

\[x = -\frac{{3}}{{2}}\]

Теперь, чтобы найти значение \(y\), мы можем подставить \(x = -\frac{{3}}{{2}}\) в первое уравнение:

\[3 \left(-\frac{{3}}{{2}}\right) + y + 4 = 0\]

Упростим выражение:

\[-\frac{{9}}{{2}} + y + 4 = 0\]

\[y + \frac{{7}}{{2}} = 0\]

\[y = -\frac{{7}}{{2}}\]

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из \(x = -\frac{{3}}{{2}}\) и \(y = -\frac{{7}}{{2}}\).