Сколько клеток было закрашено после того, как в прямоугольнике размером 2021 x 2022 провели диагональ, соединяющую
Сколько клеток было закрашено после того, как в прямоугольнике размером 2021 x 2022 провели диагональ, соединяющую противоположные вершины, и закрасили в черный цвет все клетки, которые этот отрезок пересекает (то есть содержит точки внутри клетки)?
Arseniy 62
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим прямоугольник размером 2021 x 2022 и диагональ, соединяющую его противоположные вершины.Первым шагом, давайте определим, сколько клеток содержатся в данном прямоугольнике. Чтобы это сделать, мы умножим длину стороны прямоугольника на длину другой стороны:
\[2021 \times 2022 = 4088842\]
Таким образом, в прямоугольнике размером 2021 x 2022 содержится 4 088 842 клетки.
Далее, рассмотрим диагональ, соединяющую противоположные вершины прямоугольника. Такая диагональ пересекает клетки прямоугольника и, следовательно, закрашивает их.
Для определения количества закрашенных клеток, давайте найдем количество клеток, которые диагональ пересекает.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В треугольнике, образованном диагональю прямоугольника, его шириной и высотой, диагональ является гипотенузой.
Рассмотрим длину прямоугольника 2021 и 2022, они могут служить как катеты треугольника, и вычислим длину диагонали, используя теорему Пифагора:
\[\text{Длина диагонали} = \sqrt{2021^2 + 2022^2} \approx 2857.214\]
Теперь, чтобы найти количество закрашенных клеток, приближенно, давайте умножим длину диагонали на количество пересекающихся клеток на единичной длине диагонали.
Так как диагональ проходит через каждую клетку на единичном расстоянии, количество пересекающихся клеток будет равно длине диагонали.
Отсюда, количество закрашенных клеток будет примерно равно:
\[2857.214\]
Приближенно, после проведенной диагонали в прямоугольнике размером 2021 x 2022, будет закрашено около 2857 клеток.