Найти пять подряд идущих натуральных чисел, для которых сумма квадратов первых трех чисел равна сумме квадратов двух

Солнце_В_Городе

50

Хорошо! Для решения данной задачи нам необходимо найти пять подряд идущих натуральных чисел, для которых сумма квадратов первых трех чисел будет равна сумме квадратов двух последних чисел.

Давайте обозначим пять подряд идущих натуральных чисел как \(n, n+1, n+2, n+3\) и \(n+4\).

Тогда сумма квадратов первых трех чисел будет выглядеть следующим образом:
\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\]

А сумма квадратов двух последних чисел:
\[(n+3)^2 + (n+4)^2\]

Теперь мы можем записать уравнение:
\[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = (n+3)^2 + (n+4)^2\]

Давайте раскроем скобки:
\[n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = n^2 + 6n + 9 + n^2 + 8n + 16\]

Соберем все слагаемые и упростим уравнение:
\[3n^2 + 6n + 5 = 2n^2 + 14n + 25\]

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
\[n^2 - 8n + 20 = 0\]

Теперь нам нужно найти два числа, сумма которых равна -8, а произведение -20. Разложим число -20 на два множителя:
-20 = -10 * 2 или -20 * 1

Рассмотрим первый вариант:

n^2 - 10n - 2n + 20 = 0

Сгруппируем слагаемые:
n(n - 10) - 2(n - 10) = 0

(n - 10)(n - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для n: n = 10 или n = 2.

Если n = 10, то пять подряд идущих натуральных чисел будут: 10, 11, 12, 13 и 14.

Если n = 2, то пять подряд идущих натуральных чисел будут: 2, 3, 4, 5 и 6.

Итак, ответ на задачу заключается в следующих пяти подряд идущих натуральных числах:
10, 11, 12, 13 и 14
или
2, 3, 4, 5 и 6