Как найти решение уравнения 4(1+cosx)=3cos(x/2) sin^2(x/2)?

Звездопад_На_Горизонте_8594

60

Для решения данного уравнения нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте начнем!

Шаг 1: Используем формулу двойного угла для элементарной тригонометрической функции cos(2a) = 1 - 2sin^2(a). Заметим, что в левой части уравнения имеется сложение углов x и x, а в правой части угол x/2. Поэтому полезно будет представить левую часть в виде cos(2x/2). Проделаем это:

4(1 + cos(x)) = 3cos(x/2) sin^2(x/2)
4(1 + cos(2x/2)) = 3cos(x/2) sin^2(x/2)

Шаг 2: Преобразуем правую часть уравнения. Для этого воспользуемся формулами cos^2(x/2) = (1 + cos(x))/2 и sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2. Подставим эти значения в уравнение:

4(1 + cos(2x/2)) = 3cos(x/2) [(1 - cos(x))/2]

Шаг 3: Упростим полученное выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4(1 + cos(x)) = 3cos(x/2) (1 - cos(x))/2
4 + 4cos(x) = 3cos(x/2) - (3/2)cos^2(x/2)

Шаг 4: Приведем подобные слагаемые в уравнении:

(3/2)cos^2(x/2) + 4cos(x) - 3cos(x/2) - 4 = 0

Шаг 5: После получения квадратного уравнения, нам нужно решить его. Найдем корни уравнения с помощью метода решения квадратного уравнения.

Без изменений:
(3/2)cos^2(x/2) + 4cos(x) - 3cos(x/2) - 4 = 0

Заметим, что это квадратное уравнение относительно cos(x/2). Поэтому применим метод решения квадратных уравнений:

(3/2)cos^2(x/2) - 3cos(x/2) + 4cos(x) - 4 = 0

Шаг 6: Решим полученное квадратное уравнение. Можем использовать квадратное уравнение для cos(x/2) или решить его методом факторизации.

(3/2)cos^2(x/2) - 3cos(x/2) + 4cos(x) - 4 = 0

Здесь вам может понадобиться подставить новую переменную, чтобы сделать решение более удобным. Например, пусть cos(x/2) = t.

Тогда получим:

(3/2)t^2 - 3t + 4(2t^2 - 1) - 4 = 0

3t^2 - 3t + 8t^2 - 4 - 4 = 0
11t^2 - 3t - 8 = 0

Шаг 7: Теперь, поскольку мы получили уравнение относительно t, мы можем решить его с помощью факторизации, метода полного квадрата или формулы для нахождения корней квадратного уравнения.

Факторизуем полученное уравнение:

(11t - 8)(t + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

11t - 8 = 0 - этот случай приведет к решению cos(x/2) = 8/11
t + 1 = 0 - этот случай приведет к решению cos(x/2) = -1

Шаг 8: Найдем значения угла x/2, соответствующие полученным значениям cos(x/2). Для этого нам нужно использовать обратные тригонометрические функции.

1) Для cos(x/2) = 8/11:
x/2 = arccos(8/11)

2) Для cos(x/2) = -1:
x/2 = arccos(-1)

Шаг 9: Теперь найдем значение угла x. Для этого удваиваем значения x/2:

1) x = 2(arccos(8/11))
2) x = 2(arccos(-1))

Поздравляю! Мы успешно нашли решения уравнения 4(1 + cosx) = 3cos(x/2) sin^2(x/2). Пожалуйста, обратитесь к нашим предыдущим шагам и используйте значение x, чтобы убедиться в правильности каждого шага. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!