Как найти решение уравнения tg(п-х)cos(3п/2-2х)=sin5п/6 на интервале от -2п до -п/2?

Solnyshko

65

Для начала давайте перепишем уравнение, чтобы оно было более удобным для решения. Мы можем заменить \(tg(п-х)\) на \(\frac{\sin(п-х)}{\cos(п-х)}\) и \(cos(3п/2-2х)\) на \(\sin(\frac{п}{2}-2х)\), используя формулы тригонометрии:

\[
\tan(\alpha) = \frac{{\sin(\alpha)}}{{\cos(\alpha)}},\quad \cos(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2}-\beta)
\]

Теперь уравнение примет вид:

\[
\frac{\sin(п-х)}{\cos(п-х)} \cdot \sin(\frac{п}{2}-2х) = \sin(\frac{5п}{6})
\]

Теперь нам нужно решить это уравнение на интервале от -2п до -п/2. Для упрощения задачи, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрии.

Рассмотрим первый множитель \(\frac{\sin(п-х)}{\cos(п-х)}\). Мы знаем, что \(\frac{\sin(п-х)}{\cos(п-х)} = \tan(п-х)\). Таким образом, уравнение примет вид:

\[
\tan(п-х) \cdot \sin(\frac{п}{2}-2х) = \sin(\frac{5п}{6})
\]

Дальше, мы можем воспользоваться идентичностью тригонометрии \(\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\). Применим эту идентичность для упрощения нашего уравнения:

\[
[\sin(п)\cos(х) - \cos(п)\sin(х)] \cdot [\cos(\frac{п}{2})\cos(2х) + \sin(\frac{п}{2})\sin(2х)] = \sin(\frac{5п}{6})
\]

Теперь упростим полученное уравнение:

\[
[-\cos(х) - \sin(х)] \cdot [\cos(\frac{\pi}{2})\cos(2х) + \sin(\frac{\pi}{2})\sin(2х)] = \sin(\frac{5\pi}{6})
\]

\[
[-\cos(х) - \sin(х)] \cdot [0\cos(2х) + 1\sin(2х)] = \sin(\frac{5\pi}{6})
\]

\[
(-\cos(х) - \sin(х))\sin(2х) = \sin(\frac{5\pi}{6})
\]

Продолжаем упрощать:

\[
-\sin(2х)\cos(х) - \sin^2(х) = \sin(\frac{5\pi}{6})
\]

\[
-\sin(2х)\cos(х) = \sin(\frac{5\pi}{6}) + \sin^2(х)
\]

Мы можем заменить \(\sin(2х)\) на \(2\sin(x)\cos(x)\) и далее продолжить упрощение:

\[
-2\sin(x)\cos^2(x) = \sin(\frac{5\pi}{6}) + \sin^2(x)
\]

\[
0 = 2\sin(x)\cos^2(x) + \sin(\frac{5\pi}{6}) + \sin^2(x)
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Давайте его решим.