Как найти решения уравнения X3+30x2+300x+1008=0?

Кирилл

14

Хотя это уравнение третьей степени, мы можем попробовать решить его с помощью метода подстановки. Для этого давайте попробуем использовать подстановку \(x = y - \frac{10}{3}\).

1. Сначала заменим \(x\) на \(y - \frac{10}{3}\) в исходном уравнении:

\[
\left(y - \frac{10}{3}\right)^3 + 30\left(y - \frac{10}{3}\right)^2 + 300\left(y - \frac{10}{3}\right) + 1008 = 0
\]

2. Распишем каждую степень и выполним соответствующие упрощения. Здесь можно использовать алгебраические программы или калькуляторы, чтобы не делать вычислений вручную.

\[
y^3 - 10y^2 + 18y + 2 = 0
\]

Теперь у нас есть кубическое уравнение относительно переменной \(y\).

3. Чтобы решить его, мы можем использовать различные методы, такие как метод Кардано, метод Руффини или графический метод. Давайте воспользуемся методом Руффини.

Первым шагом нам нужно найти один из его корней. Для этого мы можем использовать теорему о рациональных корнях (теорема о рациональных корнях). Согласно этой теореме, каждый рациональный корень полинома имеет вид \(\pm \frac{a}{b}\), где \(a\) - делитель свободного члена, а \(b\) - делитель старшего коэффициента.

В нашем случае свободным членом является 2, а старшим коэффициентом является 1. Поэтому мы можем попробовать подставить значения \(\pm 1, \pm 2\), чтобы найти рациональные корни.

4. Подставим \(y = 1\) в кубическое уравнение и выполним проверку:

\[
1^3 - 10 \cdot 1^2 + 18 \cdot 1 + 2 = 11
\]

Корень \(y = 1\) не работает.

5. Подставим \(y = -1\) в кубическое уравнение и выполним проверку:

\[
(-1)^3 - 10 \cdot (-1)^2 + 18 \cdot (-1) + 2 = -10
\]

Корень \(y = -1\) не работает.

6. Подставим \(y = 2\) в кубическое уравнение и выполним проверку:

\[
2^3 - 10 \cdot 2^2 + 18 \cdot 2 + 2 = -2
\]

Корень \(y = 2\) работает, так как даёт нам 0.

7. Теперь, используя метод Руффини, разделим исходное кубическое уравнение на \(y - 2\):

\[
(y^3 - 10y^2 + 18y + 2) \div (y - 2)
\]

8. Применим правило деления полиномов, чтобы получить частное и остаток:

\[
\begin{array}{c|cccc}
& y^3 & -10y^2 & 18y & +2 \\
\hline
y - 2 & y^4 & -8y^3 & 2y^2 & -20y & +42 \\
& y^4 & -2y^3 \\
\hline
& & -8y^3 & 2y^2 \\
& & -8y^3 & +16y^2 \\
\hline
& & & 18y & +2 \\
& & & 18y & -36 \\
\hline
& & & & 38
\end{array}
\]

То есть, после деления получаем частное равное \(y^2 - 8y + 18\) и остаток равный 38.

9. Теперь мы имеем квадратное уравнение \(y^2 - 8y + 18 = 0\), которое можно решить с помощью обычных методов. Можно использовать квадратное уравнение или завершение квадрата.

10. После решения квадратного уравнения, найденные значения \(y\) могут быть подставлены обратно в уравнение \(x = y - \frac{10}{3}\), чтобы получить конечные значения \(x\).

Полученные значения \(x\) являются решениями исходного кубического уравнения \(x^3 + 30x^2 + 300x + 1008 = 0\). Удачи в решении задачи!