Какова область определения функции y = 6/√(8 + 10x - 3x^2)?

Игоревич_2587

46

Чтобы найти область определения функции \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\), мы должны определить значения \(x\), для которых функция определена.

Обратимся к выражению в знаменателе \(\sqrt{8 + 10x - 3x^2}\). Чтобы подразумевался корень, значение под радикалом должно быть неотрицательным. Теперь давайте рассмотрим неравенство \(8 + 10x - 3x^2 \geq 0\).

Для решения этого неравенства нам понадобится найти корни квадратного трехчлена. Запишем уравнение \(8 + 10x - 3x^2 = 0\) и решим его:

\[8 + 10x - 3x^2 = 0\]

Перенесем все слагаемые в левую часть и получим:

\[3x^2 - 10x - 8 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня. Я воспользуюсь методом факторизации:

\[3x^2 - 10x - 8 = 0\]
\[(3x + 2)(x - 4) = 0\]

Теперь мы получили два линейных уравнения:

\(3x + 2 = 0\) и \(x - 4 = 0\)

Решим каждое из них:

\(3x + 2 = 0\) → \(3x = -2\) → \(x = \frac{-2}{3}\)

\(x - 4 = 0\) → \(x = 4\)

Таким образом, мы нашли два значения \(x\), для которых выражение под радикалом в исходной функции равно нулю: \(x = \frac{-2}{3}\) и \(x = 4\).

Теперь посмотрим, как это отражается на области определения функции. Функция будет определена, когда выражение под радикалом больше или равно нулю, то есть, когда \(8 + 10x - 3x^2 \geq 0\).

Общий подход к решению такого неравенства - использовать тестирование знаков. Нам нужно найти значения \(x\) в каждой из трех областей исходной функции (левее \(\frac{-2}{3}\), между \(\frac{-2}{3}\) и 4, и правее 4), чтобы определить знак в каждой области.

Давайте построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& x < \frac{-2}{3} & \frac{-2}{3} < x < 4 & x > 4 \\
\hline
8 + 10x - 3x^2 & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Знак "+" означает, что выражение \(8 + 10x - 3x^2\) положительно, а знак "-" означает, что оно отрицательно.

Теперь мы можем сделать вывод о значении выражения \(8 + 10x - 3x^2\) в каждой области:

\begin{itemize}
\item Если \(x < \frac{-2}{3}\), то \(8 + 10x - 3x^2 > 0\), так как знак "+" в этой области.
\item Если \(\frac{-2}{3} < x < 4\), то \(8 + 10x - 3x^2 < 0\), так как знак "-" в этой области.
\item Если \(x > 4\), то \(8 + 10x - 3x^2 > 0\), так как знак "+" в этой области.
\end{itemize}

Таким образом, область определения функции \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\) - это множество всех значений \(x\), в которых \(8 + 10x - 3x^2 > 0\). То есть, область определения - это интервал \(\left( \frac{-2}{3}, 4 \right)\).

Итак, область определения функции \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\) - это все значения \(x\), принадлежащие интервалу \(\left( \frac{-2}{3}, 4 \right)\).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!