Найти длину дуги и площадь соответствующего сектора, если хорда окружности равна 6 и угол между касательными

Osen

26

В данной задаче требуется найти длину дуги окружности и площадь соответствующего сектора.

Обозначим заданный угол между касательными через \(x\). Из условия задачи известно, что \(x = 60\) градусов.

Для решения задачи, нам понадобятся следующие формулы:

1. Длина дуги \(L\) находится по формуле:

\[L = \frac{{x}}{360} \cdot 2\pi r\]

где \(r\) - радиус окружности.

2. Площадь сектора \(S\) находят по формуле:

\[S = \frac{{x}}{360} \cdot \pi r^2\]

Таким образом, для решения задачи нам нужно найти радиус окружности \(r\), используя длину хорды.

Определимся с известными данными:

Длина хорды \(AB\) равна 6 единиц.

Для нахождения радиуса окружности, нам понадобится использовать теорему о хорде окружности, которая утверждает, что когда внутри окружности построена хорда, она делит эту окружность на две равные дуги.

В данной задаче мы имеем равнобедренный треугольник \(AOB\), где \(O\) - центр окружности, а \(A\) и \(B\) - концы хорды. Поскольку угол \(AOB\) равен 60 градусов, у нас получается равносторонний треугольник.

Теперь мы можем найти высоту треугольника \(h\) по формуле:

\[h = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot a\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

В нашей задаче сторона треугольника равна длине хорды \(AB\), то есть \(a = 6\).

Таким образом, получаем:

\[h = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть высота треугольника, которая вместе с радиусом образует прямоугольный треугольник.

Применяя теорему Пифагора, можно найти радиус окружности \(r\):

\[r = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Подставляя значения, получаем:

\[r = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6\]

Теперь, когда у нас есть радиус окружности, мы можем найти длину дуги \(L\) и площадь сектора \(S\).

\[L = \frac{{x}}{360} \cdot 2\pi r = \frac{{60}}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot 6 = \pi\]

\[S = \frac{{x}}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{{60}}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 6^2 = \pi \cdot 6\]

Таким образом, длина дуги окружности равна \(\pi\) единиц, а площадь соответствующего сектора также равна \(\pi\) единиц квадратных. В итоге, ответ на задачу:
Длина дуги окружности равна \(\pi\), площадь соответствующего сектора также равна \(\pi\).