а) Какое значение имеет сокращение дроби 36a^12b^7/54a^8b^13? б) Какое будет сокращение для дроби 18ab-6b/6ab? в) Какую

Margarita

65

Давайте рассмотрим каждую задачу и найдем решение пошагово.

а) Для сокращения дроби \( \frac{{36a^{12}b^7}}{{54a^8b^{13}}} \) мы должны разложить числитель и знаменатель на простые множители и сократить их, если это возможно.

Начнем с числителя 36: разлагаем его на простые множители \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \).

Теперь разложим \( a^{12} \): использовав свойство степеней одного числа (a^m \cdot a^n = a^{m+n}), мы можем записать \( a^{12} = a^8 \cdot a^4 \).

Аналогичным образом разложим \( b^7 \): \( b^7 = b^5 \cdot b^2 \).

Теперь перейдем к знаменателю 54: разлагаем его на простые множители \( 54 = 2 \cdot 3^3 \).

Разложим \( a^8 \): \( a^8 = a^8 \) (здесь нет необходимости в разложении).

И разложим \( b^{13} \): \( b^{13} = b^{13} \) (аналогично, здесь нет необходимости в разложении).

Теперь, сгруппируем все разложения вместе и сократим общие множители из числителя и знаменателя:
\[ \frac{{36a^{12}b^7}}{{54a^8b^{13}}} = \frac{{2^2 \cdot 3^2 \cdot a^8 \cdot a^4 \cdot b^5 \cdot b^2}}{{2 \cdot 3^3 \cdot a^8 \cdot b^{13}}} \]

Теперь мы видим, что у нас есть общие множители \( 2^2 \), \( 3^2 \), \( a^8 \) (в числителе и знаменателе), и \( b^2 \).

Поделим каждый из этих общих множителей на числитель и знаменатель:
\[ \frac{{2^2 \cdot 3^2 \cdot a^8 \cdot a^4 \cdot b^5 \cdot b^2}}{{2 \cdot 3^3 \cdot a^8 \cdot b^{13}}} = \frac{{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot a^4 \cdot b^5 \cdot 1}}{{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot b^{13}}} \]

Таким образом, после сокращения, мы получаем ответ:
\[ \frac{{a^4 \cdot b^5}}{{b^{13}}} \]
Или в более простой форме:
\[ \frac{{a^4}}{{b^8}} \]

б) Для сокращения дроби \( \frac{{18ab-6b}}{{6ab}} \) снова разложим числитель и знаменатель на простые множители:

В числителе 18ab-6b можно выделить общий множитель b:
\( 18ab-6b = 6b(3a-1) \)

Далее, разложим 6ab и 6b на простые множители:
6ab = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b
6b = 2 \cdot 3 \cdot b

Теперь сократим общие множители из числителя и знаменателя:
\( \frac{{6b(3a-1)}}{{6ab}} = \frac{{2 \cdot 3 \cdot b(3a-1)}}{{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b}} \)

Таким образом, после сокращения, получаем ответ:
\( \frac{{3a-1}}{{a}} \)

в) Для нахождения формы сокращенной дроби \( \frac{{3c^2+15}}{{c^2-25}} \) разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель 3c^2+15 не разлагается на простые множители.

Знаменатель c^2-25 - это разность квадратов, и мы можем разложить его с помощью формулы равенства \( (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b) \):

\( c^2 - 25 = (c + 5)(c - 5) \)

Теперь сокращаем, если это возможно:
\( \frac{{3c^2 + 15}}{{c^2 - 25}} = \frac{{3(c^2 + 5)}}{{(c + 5)(c - 5)}} \)

Таким образом, получаем ответ:
\( \frac{{3(c^2 + 5)}}{{(c + 5)(c - 5)}} \)

г) Для выяснения, как изменится дробь \( \frac{{x^2 - 14x + 49}}{{49 - x^2}} \) после сокращения, разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель x^2 - 14x + 49 не разлагается на простые множители.

Знаменатель 49 - x^2 является разностью квадратов и мы можем разложить его с помощью формулы равенства \( (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b) \):

\( 49 - x^2 = (7 + x)(7 - x) \)

Теперь сократим, если это возможно:
\( \frac{{x^2 - 14x + 49}}{{49 - x^2}} = \frac{{x^2 - 14x + 49}}{{(7 + x)(7 - x)}} \)

Поскольку сокращение не является возможным, мы не можем упростить эту дробь дальше.

Таким образом, после сокращения получаем:
\( \frac{{x^2 - 14x + 49}}{{(7 + x)(7 - x)}} \)