Как определить взаимную индуктивность соленоидов, если они имеют одинаковую длину, практически равное сечение

Vihr

70

Для определения взаимной индуктивности \(M\) соленоидов, если они имеют одинаковую длину, практически равное сечение и вставлены один в другой, сначала рассмотрим формулу для индуктивности соленоида:

\[L = \frac{{\mu_0 n^2 A}}{l}\]

где \(L\) - индуктивность, \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Гн/м}\)), \(n\) - количество витков, \(A\) - площадь поперечного сечения соленоида и \(l\) - длина соленоида.

Учитывая, что соленоиды одинаковой длины и сечения, величина \(A\) будет одинакова для обоих соленоидов. Поэтому формула для индуктивности может быть записана в следующей форме:

\[L = \frac{{\mu_0 n_1^2 A}}{l} \quad (1)\]
\[L = \frac{{\mu_0 n_2^2 A}}{l} \quad (2)\]

где \(n_1\) и \(n_2\) - количество витков первого и второго соленоидов соответственно.

Из данных задачи, известно, что индуктивность первого соленоида \(L_1\) равна 0,36 Гн, а индуктивность второго соленоида \(L_2\) равна 0,64 Гн.

Подставим значения в формулы (1) и (2):

\[0.36 = \frac{{\mu_0 n_1^2 A}}{l} \quad (3)\]
\[0.64 = \frac{{\mu_0 n_2^2 A}}{l} \quad (4)\]

Разделим формулу (4) на формулу (3):

\[\frac{0.64}{0.36} = \frac{{\frac{{\mu_0 n_2^2 A}}{l}}}{{\frac{{\mu_0 n_1^2 A}}{l}}}\]

Сократим магнитную постоянную \(\mu_0\), площадь поперечного сечения \(A\) и длину \(l\):

\[\frac{0.64}{0.36} = \frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[\sqrt{\frac{0.64}{0.36}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Выразим \(\frac{{n_2}}{{n_1}}\):

\[\frac{{n_2}}{{n_1}} = \sqrt{\frac{0.64}{0.36}}\]

Теперь, зная отношение количества витков, можно выразить взаимную индуктивность \(M\) соленоидов следующим образом:

\[M = \frac{{n_2}}{{n_1}} \cdot \sqrt{L_1 \cdot L_2}\]

Подставим значения:

\[M = \sqrt{0.36 \cdot 0.64} \approx 0.48 \, \text{Гн}\]

Таким образом, взаимная индуктивность соленоидов составляет около 0.48 Гн.