Как построить график функции y=6x-x² и найти множество решений неравенства 6x-x²≥0? Сколько натуральных решений имеет

Ярослава

10

Хорошо, давайте начнем с графика функции \(y = 6x - x^2\). Чтобы построить график этой функции, мы сначала должны понять ее форму и поведение.

Функция \(y = 6x - x^2\) является параболой, так как содержит квадратичный член \(x^2\). Важно отметить, что коэффициент при \(x^2\) (-1) отрицателен, что означает, что парабола будет направлена вниз.

Теперь давайте найдем вершину параболы, так как зная ее координаты, мы сможем построить основную форму параболы. Вершина параболы можно найти по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) являются коэффициентами перед \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В нашем случае \(a = -1\) и \(b = 6\), поэтому вершина параболы будет находиться в точке \(x = -\frac{6}{2(-1)} = 3\).

Теперь подставим \(x = 3\) в исходное уравнение, чтобы найти значение \(y\) в этой точке. Подставим: \(y = 6(3) - (3)^2 = 18 - 9 = 9\).

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((3, 9)\).

Теперь давайте построим параболу, используя вершину и форму параболы.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & 0 \\
\hline
1 & 5 \\
\hline
2 & 8 \\
\hline
3 & 9 \\
\hline
4 & 8 \\
\hline
5 & 5 \\
\hline
6 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, перейдем к неравенству \(6x - x^2 \geq 0\). Чтобы найти множество решений этого неравенства, мы должны определить, при каких значениях \(x\) неравенство выполнено.

Мы можем найти значения \(x\), при которых \(6x - x^2 = 0\). Для этого решим квадратное уравнение \(6x - x^2 = 0\).

Факторизуя это уравнение, мы получим \(x(6 - x) = 0\). Таким образом, \(x = 0\) или \(x = 6\).

Один из способов решения неравенства \(6x - x^2 \geq 0\) заключается в использовании метода интервалов. Мы разделяем ось \(x\) на три интервала, используя значения, которые мы нашли (\(x = 0\) и \(x = 6\)).

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак функции} \\
\hline
(-\infty, 0) & + \\
\hline
(0, 6) & - \\
\hline
(6, +\infty) & + \\
\hline
\end{array}
\]

Знак функции на интервале (-\infty, 0) положительный, так как парабола находится выше оси \(x\) в этом диапазоне. Знак функции на интервале (0, 6) отрицательный, так как парабола находится ниже оси \(x\). Знак функции на интервале (6, +\infty) снова положительный, так как парабола находится выше оси \(x\).

Таким образом, неравенство \(6x - x^2 \geq 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, 0]\) и \([6, +\infty)\). Это означает, что множество решений этого неравенства - это все значения \(x\), принадлежащие этим интервалам или равные им.

Чтобы найти количество натуральных решений данного неравенства, мы должны подсчитать их количество на интервалах \((-\infty, 0]\) и \([6, +\infty)\). Натуральные числа - это положительные целые числа, поэтому в интервале \((-\infty, 0]\) нет натуральных решений.

Однако, на интервале \([6, +\infty)\) есть бесконечное количество натуральных решений, так как все значения \(x\) равные или большие 6 удовлетворяют неравенству.

Таким образом, данное неравенство имеет бесконечное количество натуральных решений.