Как происходит переход от формулы (1) к формуле (2)? Вот задание: Найдите момент инерции цилиндрической трубы с массой
Как происходит переход от формулы (1) к формуле (2)? Вот задание: Найдите момент инерции цилиндрической трубы с массой m, внешним радиусом R2 и внутренним радиусом R1. Известно: m R2 R1 J-? Решение: Цилиндр можно представить в виде набора тонких дисков с массами dm и моментами инерции: dJ=1/2 dm〖R^2〗^ Момент инерции цилиндра равен сумме моментов инерции dJ для каждого тонкого диска: J=ΣdJ=1/2 mR^2 Можно рассмотреть данный цилиндр как сплошной цилиндр с радиусом R2 и массой m2, из которого вырезано отверстие - цилиндр с радиусом R1 и массой m1. Таким образом, момент инерции трубы J=J_2-J_1 представляет собой разницу
Yachmenka 3
Для начала рассмотрим момент инерции одного тонкого диска с массой \(dm\) и радиусом \(R\).Момент инерции тонкого диска относительно его оси вращения (ось, проходящая через центр диска перпендикулярно к его плоскости) равен \(dJ = \frac{1}{2} dm R^2\).
Здесь мы используем формулу для момента инерции диска, которая гласит, что момент инерции диска равен половине произведения массы диска и его радиуса в квадрате.
Теперь, чтобы найти момент инерции цилиндрической трубы, мы просто складываем моменты инерции всех тонких дисков, которые составляют эту трубу.
Таким образом, момент инерции цилиндра равен сумме моментов инерции \(dJ\) для каждого тонкого диска. Обозначим этот момент инерции цилиндра как \(J\).
\[J = \sum{dJ} = \frac{1}{2} \sum{dm R^2}\]
В данной задаче у нас есть цилиндрическая труба с массой \(m\), внешним радиусом \(R_2\) и внутренним радиусом \(R_1\).
Мы можем рассмотреть данную цилиндрическую трубу как состоящую из двух частей: внешнего цилиндра с массой \(m_2\) (равной массе всей трубы) и внутреннего цилиндра с массой \(m_1\) (равной массе вырезанного отверстия).
Таким образом, момент инерции трубы \(J\) равен разности моментов инерции внешнего цилиндра \(J_2\) и момента инерции внутреннего цилиндра \(J_1\).
\[J = J_2 - J_1\]
Так как момент инерции цилиндра составлен из суммы моментов инерции каждого тонкого диска в нем, то мы можем записать, что момент инерции внешнего цилиндра \(J_2\) равен моменту инерции цилиндра с внешним радиусом \(R_2\) и массой \(m\):
\[J_2 = \frac{1}{2} m R_2^2\]
Аналогично, момент инерции внутреннего цилиндра \(J_1\) равен моменту инерции цилиндра с внутренним радиусом \(R_1\) и массой \(m\):
\[J_1 = \frac{1}{2} m R_1^2\]
Теперь мы можем решить задачу подставив значение \(J_2\) и \(J_1\) в выражение для момента инерции трубы \(J\):
\[J = \frac{1}{2} m R_2^2 - \frac{1}{2} m R_1^2\]
Вот и получается формула (2) для момента инерции цилиндрической трубы с массой \(m\), внешним радиусом \(R_2\) и внутренним радиусом \(R_1\):
\[J = \frac{1}{2} m (R_2^2 - R_1^2)\]