Как решить неравенство вида 1,25^8x-5> 0,8^3x+2?

Kroshka_2443

51

Конечно! Я помогу вам разобраться с решением данного неравенства. Давайте начнем:

1. В первую очередь, нам нужно привести неравенство к более удобному виду. Для этого мы избавимся от оснований и выразим выражения с одной основой. Поскольку $1,25 = \frac{5}{4}$ и $0,8 = \frac{4}{5}$, мы можем переписать неравенство следующим образом:

\(\left(\frac{5}{4}\right)^{8x-5} > \left(\frac{4}{5}\right)^{3x+2}\)

2. Теперь приведем оба основания к общему виду. Воспользуемся тем, что \(\frac{a}{b} = \left(\frac{b}{a}\right)^{-1}\):

\(\left(\frac{5}{4}\right)^{8x-5} > \left(\frac{5}{4}\right)^{-3x-2}\)

3. Так как основания равны, мы можем уравнять показатели степеней:

\(8x - 5 > -3x - 2\)

4. Теперь решим получившееся линейное неравенство. Добавим \(3x\) к обеим частям:

\(8x - 3x - 5 > - 2\)

\(5x - 5 > -2\)

5. Добавим 5 к обеим частям:

\(5x > 3\)

6. И, наконец, разделим обе части на 5:

\(x > \frac{3}{5}\)

Таким образом, решение данного неравенства - это все числа \(x\), которые больше \(\frac{3}{5}\). В качестве проверки, вы можете выбрать любое число, большее \(\frac{3}{5}\), и подставить его в исходное неравенство для убедительности. Например, если вы возьмете \(x = 1\), то получим:

\(\left(\frac{5}{4}\right)^{8(1)-5} > \left(\frac{4}{5}\right)^{3(1)+2}\)

\(\left(\frac{5}{4}\right)^{3} > \left(\frac{4}{5}\right)^{5}\)

После простых вычислений можно убедиться, что это неравенство выполняется.