Как решить неравенство x²×㏒512(9-х)≥㏒2 (x²-9x+81) методом рациональности? Какие три точки определения нужно найти?

Ледяной_Взрыв_3966

58

Чтобы решить данное неравенство методом рациональности, мы должны разобрать каждую часть его условия.

Первое, что мы можем увидеть, это неравенство \(x^2\cdot \log_{512}(9-x) \geq \log_2(x^2-9x+81)\).

Важно понимать, что логарифмы, указанные в этом неравенстве, имеют основания 512 и 2 соответственно. Мы не можем непосредственно решить это неравенство, поэтому наш первый шаг будет заключаться в определении трех точек, где все выражения, содержащиеся в неравенстве, определены.

1. Точка определения первого логарифма \(\log_{512}(9-x)\). Значение аргумента логарифма не может быть отрицательным, поэтому мы должны избегать отрицательного значения \(9-x\). Следовательно, \(9-x \geq 0\). Решим это неравенство: \(x \leq 9\).

2. Точка определения второго логарифма \(\log_2(x^2-9x+81)\). Здесь аргумент логарифма должен быть строго положительным числом. Решим это неравенство: \(x^2-9x+81 > 0\). Мы можем решить это неравенство путем факторизации квадратного уравнения, но мы также можем заметить, что это квадрат полного квадрата \((x-4.5)^2\). Таким образом, \(x^2-9x+81 = (x-4.5)^2 > 0\) всегда будет положительным для любого значения \(x\).

3. Третья точка определения является точкой, где два логарифма равны нулю. Это возможно, когда аргументы обоих логарифмов равны 1. Таким образом, \(9-x = 1\) и \(x^2 - 9x + 81 = 1\). Отсюда мы получаем \(x = 8\) и \(x = 9\) соответственно.

Теперь у нас есть три точки определения: \(x=8\), \(x=9\) и \(x \leq 9\).

Чтобы найти решение и ответ с учетом этих точек, мы можем построить таблицу знаков: