Как решить систему уравнений: (x-8)(y-9)=0 (y-5)/(x+y-13)=4?

Luka

15

Чтобы решить данную систему уравнений, мы можем использовать два метода: метод подстановки и метод сложения/вычитания.

Метод подстановки:
1. Разделим второе уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби: \(\frac{{y-5}}{{x+y-13}}=4\) станет \(y-5=4(x+y-13)\)
2. Раскроем скобки во втором уравнении: \(y-5=4x+4y-52\)
3. Перенесем все неизвестные на одну сторону уравнения: \(4x+3y=47\) (1)
4. Разберемся с первым уравнением: \((x-8)(y-9)=0\) Отсюда следует, что либо \(x-8=0\) (2), либо \(y-9=0\) (3).
5. Если решим уравнение (2), получим \(x=8\). Подставим это значение в уравнение (1): \(4\cdot8+3y=47\). Решив это уравнение, найдем \(y=\frac{11}{3}\).
6. Таким образом, одно из решений нашей системы: \(x=8\) и \(y=\frac{11}{3}\).

Теперь проверим, подходит ли это решение для второго уравнения.
Подставим значения \(x=8\) и \(y=\frac{11}{3}\) во второе уравнение: \(\frac{{\frac{11}{3}-5}}{{8+\frac{11}{3}-13}}=4\).
Упростим это уравнение и проверим равенство: \(\frac{4}{3}\cdot\frac{36}{11}=4\).
Обратите внимание, что мы домножили обе стороны на 11, чтобы избавиться от знаменателя \(\left(8+\frac{11}{3}-13\right)\).
Вычислив это уравнение, мы получаем: \(\frac{48}{11}=4\), что является верным утверждением.

Таким образом, ответом на данную систему уравнений является \(x=8\) и \(y=\frac{11}{3}\).