Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр составляет 114м, а площадь - 800м²?

Светлячок_6402

25

Для решения этой задачи воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Обозначим длину одной стороны прямоугольника через \(x\) и длину другой стороны через \(y\).

Шаг 2: Используем формулу для периметра прямоугольника, которая гласит:

\[
\text{{периметр}} = 2 \times (\text{{длина}} + \text{{ширина}})
\]

Подставляем данное значение периметра 114м:

\[
114 = 2 \times (x + y)
\]

Шаг 3: Теперь воспользуемся формулой для площади прямоугольника:

\[
\text{{площадь}} = \text{{длина}} \times \text{{ширина}}
\]

Подставляем данное значение площади 800м²:

\[
800 = x \times y
\]

Шаг 4: У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (x и y):

\[
\begin{{cases}}
114 = 2 \times (x + y) \\
800 = x \times y \\
\end{{cases}}
\]

Шаг 5: Решим эту систему уравнений. Для удобства, перепишем первое уравнение:

\[
57 = x + y
\]

Теперь можем использовать метод подстановки или метод сложения (линейные уравнения). Возьмем первое уравнение и выразим \(y\) через \(x\):

\[
y = 57 - x
\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[
800 = x \times (57 - x)
\]

Шаг 6: Решим полученное квадратное уравнение. Запишем его в стандартной форме:

\[
x^2 - 57x + 800 = 0
\]

Можем воспользоваться факторизацией или квадратным уравнением. Но в данном случае проще воспользоваться квадратным уравнением:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

Для этого нужно найти значения a, b и c для нашего уравнения:

\[
a = 1, \quad b = -57, \quad c = 800
\]

Подставляем значения в формулу:

\[
x = \frac{{-(-57) \pm \sqrt{{(-57)^2 - 4 \times 1 \times 800}}}}{{2 \times 1}}
\]

Упрощаем:

\[
x = \frac{{57 \pm \sqrt{{3249 - 3200}}}}{{2}}
\]

\[
x = \frac{{57 \pm \sqrt{{49}}}}{{2}}
\]

Шаг 7: Раскрываем корень:

\[
x = \frac{{57 \pm 7}}{{2}}
\]

Теперь решаем два возможных значения для \(x\):

1) \(x = \frac{{57 + 7}}{{2}} = \frac{{64}}{{2}} = 32\)

2) \(x = \frac{{57 - 7}}{{2}} = \frac{{50}}{{2}} = 25\)

Шаг 8: Теперь, когда у нас есть значения для \(x\), можно найти соответствующие значения для \(y\) с помощью первого уравнения:

Для \(x = 32\):

\[
y = 57 - x = 57 - 32 = 25
\]

Для \(x = 25\):

\[
y = 57 - x = 57 - 25 = 32
\]

Таким образом, у нас два возможных решения: стороны прямоугольника могут быть 32м и 25м, либо 25м и 32м.