Как решить уравнение 5sin2x = 6−7sinx ? Каковы корни этого уравнения? Возможно ли найти их? Что будет в случае, если

Анжела

17

Хорошо, давайте решим данное уравнение по порядку.

1. Прежде всего, мы хотим найти корни уравнения 5sin^2(x) = 6−7sin(x). Начнем с приведения уравнения к квадратному виду.

2. Заменим sin^2(x) на (1-cos^2(x)) с использованием тождества синуса косинуса: 5(1-cos^2(x)) = 6−7sin(x).

3. Раскроем скобки: 5-5cos^2(x) = 6−7sin(x).

4. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: 5cos^2(x)+7sin(x) = -1.

5. Далее, мы видим, что уравнение содержит как квадрат косинуса, так и синус. Чтобы упростить его, воспользуемся формулой синуса двойного аргумента.

6. Заметим, что здесь у нас есть коэффициент 5 перед cos^2(x), который нам необходимо избавиться от него. Рассмотрим подходящий трюк: разделим уравнение на 5. Тогда имеем:

cos^2(x) + \dfrac{7}{5}sin(x) = -\dfrac{1}{5}.

7. Теперь заметим, что в уравнении присутствуют оба sin(x) и cos^2(x). Нам нужна еще одна формула, чтобы избавиться от cos^2(x). Воспользуемся формулой cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Получаем: 1 - sin^2(x) + \dfrac{7}{5}sin(x) = -\dfrac{1}{5}.

8. Теперь наше уравнение содержит только синусы. Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

-sin^2(x) + \dfrac{7}{5}sin(x) + \dfrac{6}{5} = 0.

9. Для удобства обозначим sin(x) как t, чтобы получить квадратное уравнение:

-t^2 + \dfrac{7}{5}t + \dfrac{6}{5} = 0.

10. Затем решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или факторизации.

Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = \left(\dfrac{7}{5}\right)^2 - 4\left(-\dfrac{6}{5}\right) = \dfrac{49}{25} + \dfrac{96}{5} = \dfrac{49+480}{25} = \dfrac{529}{25}.

Дискриминант D положительный, что означает, что уравнение имеет два различных действительных корня.

Используя формулу дискриминанта, найдем корни уравнения:

t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\dfrac{7}{5} + \sqrt{\dfrac{529}{25}}}{2(-1)} = \frac{-7 + \sqrt{529}}{-10} = \frac{-7 + 23}{-10} = \frac{16}{-10} = -\frac{8}{5}.

t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\dfrac{7}{5} - \sqrt{\dfrac{529}{25}}}{2(-1)} = \frac{-7 - \sqrt{529}}{-10} = \frac{-7 - 23}{-10} = \frac{-30}{-10} = 3.

Получили два значения для t, давайте вернемся к исходной переменной sin(x):

t_1 = -\frac{8}{5} = sin(x).

t_2 = 3 = sin(x).

11. Теперь, когда мы нашли значения sin(x), можем найти соответствующие значения x.

Если sin(x) = -\dfrac{8}{5}, то смотрим на график синусоиды и находим все значения x, для которых sin(x) равен -\dfrac{8}{5}. В этом случае нашего уравнения в диапазоне от -180 градусов до 180 градусов не будет корней.

Если sin(x) = 3, то мы видим, что значения синуса не могут быть больше 1 или меньше -1, поэтому у нас нет таких значений x, для которых sin(x) равен 3. Это означает, что в данном случае уравнение не имеет корней.

12. Ответ: Уравнение 5sin^2(x) = 6−7sin(x) не имеет действительных корней.

Теперь рассмотрим вторую часть вашего вопроса. Если sqrt(-2) будет аргументом arcsin, то следует помнить, что arcsin(x) имеет диапазон от -π/2 до π/2, и аргумент должен быть в пределах от -1 до 1. Если аргумент выходит за эти пределы (как в случае sqrt(-2)), то arcsin не определен в действительных числах. В данном случае, sqrt(-2) не может быть аргументом arcsin.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам! Если возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.