1) Найти значение log a (a^4/b^3), если log b (a) = 1/6. 2) Найти значение log b (a^6*b^99), если log a √b = 0,6

Sonya

52

Конечно! Давайте решим поставленные задачи по порядку:

1) Для начала вспомним определение логарифма, которое гласит, что \(\log_a(x) = y\) означает, что число \(a\) в степени \(y\) равно числу \(x\).
Также мы знаем, что \(\log_b(a) = \frac{1}{6}\).
Теперь рассмотрим выражение \(log_a(\frac{a^4}{b^3})\):
Мы можем преобразовать это выражение, используя свойство логарифма \(\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\):
\[log_a(\frac{a^4}{b^3}) = log_a(a^4) - log_a(b^3)\]
Вспоминая определение логарифма, мы можем выразить \(\log_a(a^4)\) следующим образом:
\[a^{log_a(a^4)} = a^4\]
Теперь мы можем перейти к \(\log_a(b^3)\):
\[a^{log_a(b^3)} = b^3\]
Таким образом, наше общее выражение превращается в:
\[log_a(a^4) - log_a(b^3) = 4 - 3*log_a(b)\]

Так как нам дано, что \(\log_b(a) = \frac{1}{6}\), мы можем заменить \(log_a(b)\) в выражении, получив:
\[4 - 3 * \frac{1}{6}\]
\[4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\]

Таким образом, значение \(\log_a(\frac{a^4}{b^3})\) равно \(\frac{7}{2}\).

2) Теперь перейдем ко второй задаче. Дано, что \(\log_a\sqrt{b} = 0,6\).
Используя свойства логарифма, мы можем записать \(\log_a(\sqrt{b})\) следующим образом: \(\frac{1}{2} \log_a(b)\).
Следовательно, наше выражение будет выглядеть так:
\[\log_b(a^6*b^{99}) = 6 + 99 * \frac{1}{2} * \log_b(a)\]

Мы также знаем, что \(\log_a(\sqrt{b}) = 0,6\). Подставляя это значение, получим:
\[6 + 99 * \frac{1}{2} * 0,6 = 6 + 99 * 0,3 = 6 + 29,7 = 35,7\]

Следовательно, значение \(\log_b(a^6*b^{99})\) равно 35,7.

3) Для третьей задачи дано, что \(\log_b\sqrt{a} = 0,1\).
Представим это выражение в виде \(\frac{1}{2} \log_b(a)\).
Из нашего выражения \(\log_a(a^4*b^32)\) мы можем сделать следующее преобразование:
\[\log_a(a^4*b^32) = 4 + 32 * \log_a(b)\]

Теперь мы заменяем \(\log_a(b)\) на значение, данное в условии, и получаем:
\[4 + 32 * 0,1 = 4 + 3,2 = 7,2\]

Следовательно, значение \(\log_a(a^4*b^32)\) равно 7,2.

4) Задание 4 говорит о нахождении значения \(\log_b((4-\sqrt[4]{a})*(5-\sqrt[5]{b}))\), при условии, что \(\log_b(\sqrt[6]{a}) = 3\).

Используя свойство логарифма \(\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)\), мы можем записать наше выражение следующим образом:
\(\log_b(4-\sqrt[4]{a}) + \log_b(5-\sqrt[5]{b})\)

Теперь мы можем заменить каждый логарифм на значения, заданные в условии:
\(\log_b(4-\sqrt[4]{a}) = \log_b(4) - \log_b(\sqrt[4]{a}) = \log_b(4) - \frac{1}{4} \log_b(a)\)
\(\log_b(5-\sqrt[5]{b}) = \log_b(5) - \log_b(\sqrt[5]{b}) = \log_b(5) - \frac{1}{5} \log_b(b)\)

Подставляя значения и преобразовывая выражение, мы получаем:
\(\log_b(4-\sqrt[4]{a}) + \log_b(5-\sqrt[5]{b}) = \log_b(4) - \frac{1}{4} \log_b(a) + \log_b(5) - \frac{1}{5} \log_b(b) = \log_b(4) + \log_b(5) - \frac{1}{4} \log_b(a) - \frac{1}{5} \log_b(b)\)

Нам также дано, что \(\log_b(\sqrt[6]{a}) = 3\).
Это означает, что \(\frac{1}{6} \log_b(a) = 3\).
Умножая обе стороны на 6, мы получаем \(\log_b(a) = 18\).
Заменяя это значение в нашем последнем выражении, получаем:
\(\log_b(4) + \log_b(5) - \frac{1}{4} * 18 - \frac{1}{5} = \log_b(4) + \log_b(5) - \frac{9}{2} - \frac{1}{5}\)

Не зная конкретных значений для \(\log_b(4)\) и \(\log_b(5)\), мы не можем подсчитать окончательный ответ, но таким образом мы получили необходимую формулу для его вычисления.

Надеюсь, эти решения были полезными и понятными!