Как связаны периоды обращения спутников t2 и t1, если их радиусы орбит относятся как r2/r1

Японец

35

Для решения данной задачи нам понадобится использовать закон Кеплера о равенстве площадей.

Закон Кеплера гласит, что за одинаковые промежутки времени спутник равномерно за радиус-вектор (линия, соединяющая центр Солнца с центром спутника) обводит равные площади в плоскости орбиты.

Итак, пусть первый спутник обращается вокруг центрального тела с периодом \(t_1\) и имеет радиус орбиты \(r_1\). В таком случае, он обводит некоторую площадь в единицу времени.

Аналогично, пусть второй спутник обращается с периодом \(t_2\) и имеет радиус орбиты \(r_2\). Также предположим, что площади, которые обводятся первым и вторым спутниками за одинаковые промежутки времени, равны между собой.

Тогда мы можем записать следующее уравнение для связи периодов обращения спутников и их радиусов орбит:

\(\frac{{\text{{объём площади, обводимой первым спутником за }} t_1\text{{ время}}}}{{\text{{объём площади, обводимой вторым спутником за }} t_2\text{{ время}}}} = 1\)

Теперь давайте посчитаем площади, обводимые спутниками за соответствующие промежутки времени.

Площадь, обводимая первым спутником за время \(t_1\), равна площади сектора круга с радиусом \(r_1\) и углом \(2\pi\) (полный оборот) и может быть выражена следующим образом:

\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot r_1^2 \cdot 2\pi\)

Аналогично, площадь, обводимая вторым спутником за время \(t_2\), будет:

\(S_2 = \frac{1}{2} \cdot r_2^2 \cdot 2\pi\)

Подставляем эти значения в уравнение:

\(\frac{\frac{1}{2} \cdot r_1^2 \cdot 2\pi}{\frac{1}{2} \cdot r_2^2 \cdot 2\pi} = 1\)

Упрощаем выражение:

\(\frac{r_1^2}{r_2^2} = 1\)

Чтобы найти связь между периодами \(t_1\) и \(t_2\), возьмём квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\(\sqrt{\frac{r_1^2}{r_2^2}} = \sqrt{1}\)

Упрощаем:

\(\frac{r_1}{r_2} = 1\)

Таким образом, мы получаем, что отношение радиусов орбит спутников \(r_2\) и \(r_1\) равно единице.

То есть, чтобы периоды обращения спутников были связаны как \(t_2\) и \(t_1\), радиусы их орбит спутников должны быть одинаковыми.

Это означает, что если первый спутник имеет орбиту с радиусом \(r_1\) и обращается вокруг центрального тела с периодом \(t_1\), то второй спутник должен иметь такую же орбиту с радиусом \(r_1\) для того, чтобы период его обращения был равен \(t_1\).