Как выполнить деление выражения (x^2-4x+4)/(20x^3) на (x-2)/(5x)?

Карнавальный_Клоун

23

Конечно! Давайте разберемся с делением выражения \(\frac{{x^2 - 4x + 4}}{{20x^3}}\) на \(\frac{{x - 2}}{{5x}}\).

Шаг 1: Начнем с упрощения выражения. Сначала, для удобства, раскроем скобки внутри делителя. Получим \(\frac{{x - 2}}{{5x}}\) = \(\frac{x}{{5x}} - \frac{2}{{5x}}\) = \(\frac{1}{5} - \frac{2}{{5x}}\).

Шаг 2: Теперь, когда у нас нет более скобок, посмотрим, можно ли упростить выражение перед делителем. Мы видим, что \(x^2 - 4x + 4\) является квадратным трехчленом, в то время как \(20x^3\) является кубическим трехчленом. Их нельзя просто сократить, так как имеют разный степенной порядок. Поэтому сохраняем выражение в числителе без изменений.

Шаг 3: Перейдем к самому делению. Для деления квадратного трехчлена на линейный трехчлен, мы можем воспользоваться алгоритмом деления многочленов.

Запишем деление по столбикам:

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& x & -2 & & & \\
\hline
20x^3 & x^2 & -4x & +4 & & \\
\end{array}
\]

Шаг 4: Разделим \(x^2\) на \(20x^3\). Получаем \(\frac{{x^2}}{{20x^3}} = \frac{1}{{20x}}\).

Шаг 5: Умножим \(\frac{1}{{20x}}\) на делитель \(\frac{1}{5} - \frac{2}{{5x}}\). Имеем:

\(\frac{1}{{20x}} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{{5x}}\right)\)

Для удобства перемножим числитель и знаменатель отдельно:

\(\frac{1}{{20x}} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{{5x}}\right) = \frac{1}{{20x}} \cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{{20x}} \cdot \frac{2}{{5x}}\)

\(\frac{1}{{20x}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{{100x}}\)

\(\frac{1}{{20x}} \cdot \frac{2}{{5x}} = \frac{2}{{100x^2}} = \frac{1}{{50x^2}}\)

Шаг 6: Теперь сложим результаты умножения числителей с подобными членами. Имеем:

\(\frac{1}{{100x}} - \frac{1}{{50x^2}}\)

Это и есть результат деления исходного выражения \(\frac{{x^2 - 4x + 4}}{{20x^3}}\) на \(\frac{{x - 2}}{{5x}}\).

Окончательный ответ:

\(\frac{{x^2 - 4x + 4}}{{20x^3}} \div \frac{{x - 2}}{{5x}} = \frac{1}{{100x}} - \frac{1}{{50x^2}}\)