Какая будет площадь фигуры, ограниченной кривой y^2=9x, и линиями x=16 и x=25?

Galina

19

Для решения этой задачи мы можем использовать интегралы и геометрический подход. Данная фигура ограничена кривой \(y^2=9x\) и двумя вертикальными линиями \(x=16\) и \(x=25\). Давайте разобьем задачу на несколько шагов для достижения максимальной ясности.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой \(y^2=9x\) с вертикальными линиями \(x=16\) и \(x=25\).

Для этого подставим значения \(x=16\) и \(x=25\) в уравнение кривой \(y^2=9x\).
При \(x=16\) получаем \(y^2=144\), откуда \(y=\pm 12\).
При \(x=25\) получаем \(y^2=225\), откуда \(y=\pm 15\).

Таким образом, точки пересечения кривой с линиями будут следующими: (16, -12), (16, 12), (25, -15) и (25, 15).

Шаг 2: Нарисуем график кривой \(y^2=9x\) и отметим точки пересечения с линиями.

\[
\begin{array}{ccccccccc}
& & & & & (-15, 25) \\
& & & & & \vert \\
& & & & & (12, 16) \\
& & & & \nearrow & \vert \\
& & & & & (12, 9) \\
& & & \swarrow & \vert & \\
& & & (0, 0) & \longrightarrow & (9, 9) \\
& & \swarrow & \vert & \\
(-12, -16) & \longrightarrow & (-12, -9) & \longrightarrow & (0, 0) \\
& & & \nearrow & \vert & \\
& & & & & (-9, 9) \\
& & & & \nearrow & \vert \\
& & & & & (-25, 15) \\
\end{array}
\]

Шаг 3: Определим площадь фигуры, образованной кривой \(y^2=9x\) и линиями \(x=16\) и \(x=25\).

Поскольку задача имеет вращательную симметрию вокруг оси x, мы можем найти площадь одной половины фигуры (положительной y) и умножить ее на 2.

Для этого мы будем использовать определенный интеграл для нахождения площади под кривой. Площадь одной половины фигуры можно выразить следующим образом:

\[S = 2 \int_{-12}^{12} \sqrt{9x} \, dx\]

Перед тем как проинтегрировать, выполним замену переменных: \(u = 9x\), \(du = 9dx\). Пределы интегрирования также изменятся: при \(x = -12\), \(u = -108\); при \(x = 12\), \(u = 108\).

\[S = 2 \cdot \frac{1}{9} \int_{-108}^{108} \sqrt{u} \, du\]

После интегрирования получим:

\[S = 2 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left[\frac{2}{3} u^{3/2}\right]_{-108}^{108}\]

Раскроем скобки:

\[S = \frac{4}{27} \cdot \left[108^{3/2} - (-108)^{3/2}\right]\]

Вычислим значения:

\[S \approx \frac{4}{27} \cdot (11664 - 11664) = 0\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой \(y^2=9x\) и линиями \(x=16\) и \(x=25\), равна 0.