Какая длина ребра основания призмы, если сфера радиуса 1 касается всех граней этой правильной шестиугольной призмы?

Sladkiy_Assasin

36

Шестигранная призма имеет два основания, которые являются правильными шестиугольниками. Поскольку сфера с радиусом 1 касается всех граней призмы, это означает, что расстояние между центром сферы и любой гранью призмы равно радиусу сферы.

Предположим, что длина ребра правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы, равна \(a\). Если мы разделим шестиугольник на равносторонний треугольник, то получим, что высота треугольника равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Учитывая это, мы можем нарисовать поперечный сечение шестиугольника через его центр. Мы получим равнобедренный треугольник с боковой стороной \(a\) и высотой \(h\), где одна из катетов равна \(r = 1\) (радиус сферы) и угол между основанием и высотой равен \(60^\circ\) (так как внутренний угол шестиугольника равен \(120^\circ\)).

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов. Согласно данной теореме, отношение синуса угла к длине противоположной стороны в треугольнике равно постоянной величине. Выглядит это следующим образом:

\[
\frac{\sin(60^\circ)}{1} = \frac{\sin(\alpha)}{h}
\]

где \(\alpha\) - угол при вершине равнобедренного треугольника.

Зная, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем решить уравнение:

\[
\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sin(\alpha)}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}
\]

Чтобы упростить этот уравнение, мы можем перевернуть дробь:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\sin(\alpha)}
\]

Теперь мы можем сократить общий множитель:

\[
1 = \frac{a}{\sin(\alpha)}
\]

Теперь нам нужно найти значение \(\sin(\alpha)\). Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, составленный из равнобедренного треугольника, мы увидим, что синус угла \(\alpha\) равен отношению катета к гипотенузе:

\[
\sin(\alpha) = \frac{r}{a} = \frac{1}{a}
\]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение и решить его:

\[
1 = \frac{a}{\frac{1}{a}}
\]

Умножая обе части уравнения на \(\frac{1}{a}\), получим:

\[
a^2 = 1
\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получим:

\[
a = \pm 1
\]

Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, мы получаем, что длина ребра основания призмы равна 1.