Какая длина волны излучения резонирует в идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью

Pchelka

29

Чтобы найти длину волны излучения, которая резонирует в данном колебательном контуре, нам нужно использовать формулу для резонансной частоты. Резонансная частота (f) может быть найдена по формуле:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \]

где L - индуктивность катушки и С - емкость конденсатора.

В данном случае, у нас есть значения индуктивности (L = 10 мкГн) и емкости (C = 1 нФ), и мы можем использовать их для нахождения резонансной частоты (f).

Подставим значения в формулу:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-6} \times 1 \times 10^{-9}}} \]

Сократим единицы измерения:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times \sqrt{10^{-5} \times 10^{-9}}} \]

Упростим выражение внутри корня:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times \sqrt{10^{-14}}} \]

Чтобы упростить вычисления, мы можем выразить 10^{-14} как 10^{-7} умножить на 10^{-7}:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times \sqrt{10^{-7} \times 10^{-7}}} \]

Теперь мы можем вычислить значение выражения внутри корня:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times \sqrt{10^{-7}}} \]

Чтобы упростить еще больше, мы можем выразить \(10^{-7}\) как \((\sqrt{10^{-7}})^2\):

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times \sqrt{\sqrt{10^{-7}}^2}} \]

Теперь мы видим, что корень с квадратом возводит в исходное значение:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times \sqrt{10^{-7}}} \]

Извлекая корень из \(10^{-7}\), мы получаем:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-7/2}} \]

Давайте упростим ниже:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times \sqrt{10^{-7}}} \]

\[ f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-7/2}} \]

Теперь, чтобы найти длину волны (λ), мы можем использовать следующую формулу:

\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

где c - скорость света. У нас уже есть значение скорости света (c = 3 × 10^8), поэтому можем подставить все значения и рассчитать длину волны:

\[ \lambda = \frac{3 \times 10^8}{\frac{1}{2 \pi \times 10^{-7/2}}} \]

Чтобы упростить выражение, разделим числитель и знаменатель на \(10^{-7/2}\):

\[ \lambda = (3 \times 10^8) \times (2 \pi \times 10^{-7/2}) \]

Упростим это выражение:

\[ \lambda = 3 \times 10^8 \times 2 \pi \times 10^{-7/2} \]

\[ \lambda = 6 \pi \times 10^{8 - 7/2} \]

Чтобы дальше упростить выражение, сократим \(10^{8 - 7/2}\) как \((10^8)^{1 - 1/2}\):

\[ \lambda = 6 \pi \times (10^8)^{1 - 1/2} \]

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[ \lambda = 6 \pi \times 10^{8 - 1/2} \]

\[ \lambda = 6 \pi \times 10^{7/2} \]

Значение \(10^{7/2}\) можно записать как \(\sqrt{10^7}\):

\[ \lambda = 6 \pi \times \sqrt{10^7} \]

Таким образом, длина волны излучения, резонирующая в данном колебательном контуре, составляет \(6 \pi \times \sqrt{10^7}\) метров.