Какая должна быть длина нихромовой проволоки, чтобы электропечь могла выпаривать 1 кг воды при температуре 20 °C

Sverkayuschiy_Dzhentlmen

18

Для решения задачи мы можем использовать следующую формулу:

\[Q = m \cdot c \cdot \Delta T + m \cdot L\]

где:
\(Q\) - количество теплоты, необходимое для выпаривания 1 кг воды (в джоулях),
\(m\) - масса воды, равная 1 кг,
\(c\) - удельная теплоемкость воды, равная 4,2 кДж/(кг·К),
\(\Delta T\) - изменение температуры, равное разности между конечной температурой пара воды и начальной температурой воды. В данной задаче это равно 100 °C,
\(L\) - теплота парообразования воды, равная 2,26·10^3 кДж/кг.

Ясно, что количество теплоты, необходимое для выпаривания 1 кг воды, равно:

\[Q = 1 \cdot 4,2 \cdot 100 + 1 \cdot 2,26 \cdot 10^3\]

\[Q = 420 + 2260 = 2680 \ кДж \ (1)\]

Далее, мы можем использовать формулу для рассчета количества выпущенного через проволоку теплоты:

\[Q = I^2 \cdot R \cdot t \ (2)\]

где:
\(I\) - сила тока, проходящего через проволоку,
\(R\) - сопротивление проволоки,
\(t\) - время, равное 10 минут, или 600 секунд.

Мы знаем напряжение, приложенное к проволоке (120 В), поэтому можно использовать формулу для рассчета силы тока:

\[I = \frac{U}{R}\]

В данной задаче сопротивление проволоки может быть найдено следующим образом:

\[R = \frac{\rho \cdot L}{S} \ (3)\]

где:
\(\rho\) - удельное сопротивление нихромовой проволоки,
\(L\) - длина проволоки,
\(S\) - площадь сечения проволоки.

Для данной задачи площадь сечения проволоки составляет 0,5 мм, что равно 5x10^(-4) м^2.

Мы можем решить уравнения (2) и (3) относительно длины проволоки \(L\).

Подставляем уравнение (3) в уравнение (2):

\[Q = \left(\frac{U}{\frac{\rho \cdot L}{S}}\right)^2 \cdot \frac{\rho \cdot L}{S} \cdot t\]

Раскроем формулу выше:

\[Q = \frac{U^2 \cdot \rho \cdot L \cdot t}{(\rho \cdot L)^2} \cdot S\]

Получаем, что:

\[Q = \frac{U^2 \cdot \rho \cdot t}{\rho \cdot L} \cdot S\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно длины проволоки \(L\):

\[Q = \frac{U^2 \cdot \rho \cdot t}{\rho \cdot L} \cdot S\]

\[\frac{U^2 \cdot \rho \cdot t}{\rho \cdot L} \cdot S = 2680 \ кДж \ (4)\]

Теперь подставим известные значения в уравнение (4). Заметим, что удельное сопротивление нихромовой проволоки равно 1,1·10^(-6) Ом·м:

\[\frac{(120)^2 \cdot (1,1 \cdot 10^{-6}) \cdot 600}{(1,1 \cdot 10^{-6}) \cdot L} \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 2680 \ кДж\]

Вычислим длину проволоки \(L\):

\[\frac{(120)^2 \cdot (1,1 \cdot 10^{-6}) \cdot 600 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}{2680 \cdot 10^{3}} = L\]

\[L \approx 9,17 \ м\]

Таким образом, чтобы электропечь могла выпаривать 1 кг воды при температуре 20 °C за 10 минут, длина нихромовой проволоки должна быть примерно 9,17 м.