На якій висоті кінетична енергія тіла дорівнює його потенціальній енергії, якщо його кинули вертикально вгору

Solnechnyy_Pirog

53

Будь ласка, надам вам розв"язок задачі з детальним обгрунтуванням:

У цій задачі потрібно знайти висоту, на якій кінетична енергія тіла дорівнюватиме його потенціальній енергії.

Почнемо з виведення формули для кінетичної та потенціальної енергій.

Кінетична енергія (K) тіла визначається за формулою:
\[K = \frac{1}{2}mv^2\],
де \(m\) - маса тіла, а \(v\) - швидкість тіла.

Потенціальна енергія (P) тіла визначається за формулою:
\[P = mgh\],
де \(m\) - маса тіла, \(g\) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²), а \(h\) - висота.

Тепер, з умови задачі, нам відома початкова швидкість тіла, яка дорівнює 10 м/с. Також, ми можемо припустити, що маса тіла \(m\) залишається постійною на всьому шляху руху.

Отже, ми можемо записати рівності для кінетичної та потенціальної енергій тіла на початку та на певній висоті \(h\):

\[K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2\]
\[P_1 = mgh_1\]
\[K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2\]
\[P_2 = mgh_2\]

Тут індекси 1 та 2 відносяться до початкового положення (на початку руху) та описуваної висоти \(h\) відповідно.

Ми знаємо, що кінетична енергія на початку руху (коли \(h_1 = 0\)) дорівнює нулю. Тому ми можемо записати:

\[K_1 = 0\]
\[P_1 = mgh_1 = 0\]

Тепер, розглядаючи стан на певній висоті \(h\), ми маємо:

\[K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2\]
\[P_2 = mgh_2\]

Умова задачі стверджує, що кінетична енергія дорівнює потенціальній енергії на даній висоті. Тобто:

\[\frac{1}{2}mv_2^2 = mgh_2\]

З цього рівняння можна виразити висоту \(h_2\). Розділимо обидві частини на \(mg\):

\[\frac{1}{2}v_2^2 = h_2\]

Замінимо \(v_2\) на дану в постановці задачі початкову швидкість 10 м/с:

\[\frac{1}{2} \cdot 10^2 = h_2\]

Розрахуємо значення:

\[\frac{1}{2} \cdot 100 = 50\]

Отже, висота \(h_2\) на якій кінетична енергія тіла дорівнює його потенціальній енергії, дорівнює 50 метрам.