Какая должна быть наименьшая продолжительность суток на этой планете, чтобы она не разрушалась, учитывая ее массу

Мурлыка

24

Для решения данной задачи, мы можем использовать законы сохранения энергии. Пусть T будет искомой продолжительностью суток на данной планете.

Сначала рассмотрим ситуацию, когда планета не разрушается. В этом случае, гравитационная энергия планеты должна быть равной кинетической энергии планеты.

Гравитационная энергия планеты выражается следующей формулой:

\(E_{\text{гр}} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{GM^2}{R}\)

Где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, R - радиус планеты.

Кинетическая энергия планеты определяется следующим образом:

\(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{I\omega^2}{T}\)

Где I - момент инерции планеты, ω - угловая скорость планеты, T - период вращения планеты.

Таким образом, если планета не разрушается, то гравитационная энергия равна кинетической энергии:

\(-\frac{3}{5} \cdot \frac{GM^2}{R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{I\omega^2}{T} \quad \text{(1)}\)

Теперь вспомним формулу для момента инерции шара:

\(I = \frac{2}{5}MR^2\)

Подставив это значение в уравнение (1), получим:

\(-\frac{3}{5} \cdot \frac{GM^2}{R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2}{5}MR^2 \cdot \omega^2}{T}\)

Упростив это уравнение, получим:

\(-\frac{GM}{R} = \frac{\omega^2}{T}\)

Теперь обратим внимание на связь между угловой скоростью планеты и ее периодом вращения. По определению угловой скорости:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Подставив это значение в уравнение (1), получим:

\(-\frac{GM}{R} = \frac{\frac{4\pi^2}{T^2}}{T}\)

Упростим дальше:

\(-\frac{GM}{R} = \frac{4\pi^2}{T^3}\)

Теперь можно выразить T:

\(T = \sqrt[3]{\frac{4\pi^2R^3}{GM}}\)

Подставим известные значения:

\(T = \sqrt[3]{\frac{4\pi^2 \cdot (6130 \cdot 10^3)^3}{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 4,9 \cdot 10^{24}}}\)

Используя калькулятор, получим результат:

\(T ≈ 17,87\) часов

Таким образом, наименьшая продолжительность суток на данной планете, чтобы она не разрушалась, составляет около 17,87 часов.