Какая должна быть угловая скорость вращения шара на веревке длиной 40 см в вертикальной плоскости, чтобы веревка
Какая должна быть угловая скорость вращения шара на веревке длиной 40 см в вертикальной плоскости, чтобы веревка не оборвалась, если веревка выдерживает натяжение 50 Н?
Родион 25
\[ T = m \cdot g + \dfrac{{m \cdot v^2}}{R} \]где:
\( T \) - натяжение в веревке
\( m \) - масса шара
\( g \) - ускорение свободного падения
\( v \) - угловая скорость шара
\( R \) - радиус окружности, которой движется шар
Для того чтобы веревка не оборвалась, натяжение в веревке \( T \) должно быть не меньше нуля.
Мы можем найти натяжение в веревке, подставив значения в уравнение:
\[ 0 \leq m \cdot g + \dfrac{{m \cdot v^2}}{R} \]
Так как веревка находится в вертикальной плоскости, радиус окружности \( R \) равен длине веревки 40 см, то есть 0.4 м. Также, ускорение свободного падения \( g \) примерно равно 9.8 м/с^2.
Подставим данные в уравнение и найдем угловую скорость \( v \):
\[ 0 \leq m \cdot 9.8 + \dfrac{{m \cdot v^2}}{0.4} \]
Для шара, чтобы веревка не оборвалась, натяжение не должно быть меньше нуля, поэтому:
\[ m \cdot 9.8 + \dfrac{{m \cdot v^2}}{0.4} \geq 0 \]
Упростим выражение, умножив обе части неравенства на 0.4:
\[ 4m \cdot 9.8 + m \cdot v^2 \geq 0 \]
\[ 39.2m + m \cdot v^2 \geq 0 \]
Теперь разделим обе части на массу шара \( m \) (если масса шара отлична от нуля) для того чтобы найти угловую скорость \( v \):
\[ 39.2 + v^2 \geq 0 \]
\[ v^2 \geq -39.2 \]
Так как квадрат угловой скорости \( v^2 \) не может быть отрицательным, мы можем сказать, что любое значение угловой скорости \( v \) будет удовлетворять этому неравенству. Это означает, что веревка не оборвется при любой угловой скорости вращения шара, будь то маленькая или большая скорость.