Какая формула может использоваться для определения n-го члена последовательности, зная первые шесть членов: 1/3

Milashka

56

Для нахождения формулы, которая может быть использована для определения n-го члена последовательности, имея первые шесть членов, мы должны сначала проанализировать данную последовательность и попытаться найти закономерность между членами.

Рассмотрим первые шесть членов последовательности:

1/3; 1/2; 3/5; 2/3

Прежде всего, заметим, что знаменатель в каждом члене последовательности является последовательностью натуральных чисел: 3, 2, 5, 3. Также можно заметить, что числитель (1, 1, 3, 2) не соответствует ни одному простому правилу или арифметической последовательности. Поэтому нам нужно искать связь только между знаменателями.

Обратите внимание, что знаменатели остаются относительно небольшими числами и могут иметь связь с числами, квадраты которых близки к знаменателям. Давайте рассмотрим возможность использования квадратов чисел в качестве закономерности.

Заметим, что знаменатели 3, 2 и 3 находятся достаточно близко к квадрату числа 4 (4 = 2^2), а знаменатель 5 близок к квадрату числа 2 (2 = 2^1), поэтому можно предположить, что формула для определения n-го члена последовательности может иметь следующий вид:

\[\frac{(n + 1)^2}{2^n}\]

где n - номер члена последовательности (начиная с 0).

Давайте проверим формулу, используя данную формулу для первых шести членов.

Для n = 0:
\[\frac{(0 + 1)^2}{2^0} = \frac{1}{1} = 1\]

Для n = 1:
\[\frac{(1 + 1)^2}{2^1} = \frac{4}{2} = 2\]

Для n = 2:
\[\frac{(2 + 1)^2}{2^2} = \frac{9}{4} = \frac{3}{4}\]

Для n = 3:
\[\frac{(3 + 1)^2}{2^3} = \frac{16}{8} = 2\]

Результаты совпадают с данными из начальной последовательности, поэтому формула \(\frac{(n + 1)^2}{2^n}\) может использоваться для определения n-го члена последовательности.