Какая индуктивность катушки необходима для достижения резонанса напряжений при данной емкости конденсатора (10 мкФ

Ласточка_1918

42

Для достижения резонанса напряжений в электрической цепи с конденсатором и катушкой, мы должны учитывать зависимость между индуктивностью катушки, емкостью конденсатора и частотой сигнала.

Мы можем использовать формулу для резонансной частоты \(f_0\) в серии RLC-контура:

\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(L\) - индуктивность катушки, \(C\) - емкость конденсатора, а \(\pi\) - математическая константа (\(\approx 3.14159\)).

Теперь, чтобы решить задачу, нам необходимо найти значение индуктивности катушки при заданной емкости конденсатора и частоте сигнала.

Заменим известные значения в формуле резонансной частоты:

\[400 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot 10 \times 10^{-6}}}\]

Давайте решим это уравнение для \(L\):

\[L = \frac{1}{(400 \cdot 2\pi)^2 \cdot 10 \times 10^{-6}}\]
\[L = \frac{1}{{(800\pi)^2 \cdot 10 \times 10^{-6}}}\]
\[L \approx \frac{1}{201061.9 \times 10^{-6}}\]
\[L \approx 4.977 \, \text{мГн}\]

Таким образом, для достижения резонанса напряжений при заданных значениях емкости (10 мкФ) и частоты (400 Гц), необходима индуктивность катушки примерно равная 4.977 мГн.

Далее, чтобы вычислить общий ток цепи при заданном сопротивлении \(R\), нам понадобится знать ещё одну формулу для резонансного импеданса \(Z\) в серии RLC-контура:

\[Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{{2\pi f L}} - \frac{2\pi f C}{{R^2}}\right)^2}\]

Учтем, что резонансный импеданс \(Z\) является комплексным числом, состоящим из активного и реактивного сопротивлений. Однако, поскольку в задаче не указано о внутреннем сопротивлении источника, предположим, что активное сопротивление равно нулю (\(R = 0\)):

\[Z = \frac{1}{{2\pi f L}} - \frac{2\pi f C}{{R^2}}\]
\[Z = \frac{1}{{2\pi f L}}\]

Теперь, чтобы найти общий ток цепи (\(I\)), мы можем использовать закон Ома (\(V = I \cdot Z\)), где \(V\) - напряжение. В данном случае, так как в задаче не указано о напряжении, мы предположим, что напряжение равно 1:

\[I = \frac{V}{Z}\]
\[I = \frac{1}{{\frac{1}{{2\pi f L}}}}\]
\[I = 2\pi f L\]
\[I = 2\pi \times 400 \times 4.977 \times 10^{-3}\]
\[I \approx 12.532 \, \text{А}\]

Таким образом, общий ток цепи при заданном сопротивлении \(R = 0\) будет примерно равен 12.532 Ампер.