Какая масса груза должна быть подвешена к той же пружине, чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза?

Vecherniy_Tuman

45

Чтобы найти массу груза, необходимую для уменьшения частоты колебаний в 2 раза, мы должны использовать закон Гука и формулу для частоты колебаний пружинного маятника.

Давайте начнем с закона Гука, который гласит, что сила, действующая на пружину, пропорциональна ее удлинению. Формула закона Гука выглядит следующим образом:

\[F = -kx\]

где:
F - сила, действующая на пружину,
k - коэффициент жесткости пружины,
x - удлинение или сжатие пружины.

Когда груз подвешен к пружине, пружина начинает колебаться. Частота колебаний пружины, \(f\), обратно пропорциональна корню из ее массы, \(m\), и коэффициента жесткости, \(k\). Соотношение между частотой колебаний и массой груза можно выразить следующей формулой:

\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

где:
f - частота колебаний пружины,
\(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3,14159.

Мы хотим, чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза. То есть, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{f_2}{f_1} = 2\]

где:
\(f_2\) - новая частота колебаний,
\(f_1\) - исходная частота колебаний.

Теперь мы можем решить эту формулу относительно массы груза, \(m_2\), чтобы получить массу груза, необходимую для уменьшения частоты колебаний в 2 раза:

\[\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{2}\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}\]

Для упрощения выражений и упрощения решения, давайте избавимся от констант \(\frac{1}{2\pi}\) с обеих сторон уравнения:

\[\sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m_1}}\]

Удалим квадратный корень, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

\[\frac{k}{m_2} = \frac{1}{4}\frac{k}{m_1}\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\frac{k}{m_1}\):

\[\frac{m_1}{m_2} = 4\]

Наконец, для нахождения массы груза, \(m_2\), мы можем использовать обратное соотношение:

\[m_2 = \frac{m_1}{4}\]

Таким образом, чтобы уменьшить частоту колебаний пружины в 2 раза, мы должны подвесить груз, масса которого будет четвертью массы исходного груза, подвешенного к пружине.