Какая наименьшая скорость лодки (относительно воды) позволит ей пересечь реку под углом α = 60° к направлению течения?

Zagadochnyy_Kot

56

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать подход, основанный на использовании векторов скоростей. Давайте рассмотрим ситуацию, где лодка плывет под углом \( \alpha = 60^\circ \) к направлению течения. Для удобства, предположим, что скорость течения реки равна \( v_1 = 3 \) км/ч.

Обозначим скорость лодки относительно воды как \( v_2 \). Теперь мы можем разложить вектор скорости лодки на две компоненты: одну параллельно направлению течения реки и другую перпендикулярно к нему.

Перпендикулярная компонента будет ответственна за перекрестное движение лодки, а параллельная компонента будет уравновешивать скорость течения реки.

Для того чтобы лодка пересекла реку, перпендикулярная компонента скорости должна быть не нулевой, в то время как параллельная компонента скорости должна быть равна скорости течения реки.

Используя тригонометрию, мы можем записать следующее:

\[ v_2 \sin(\alpha) = v_1 \]

Подставляя значения \( \alpha = 60^\circ \) и \( v_1 = 3 \) км/ч, мы можем решить это уравнение:

\[ v_2 \sin(60^\circ) = 3 \]

\[ v_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \]

Разделив обе стороны уравнения на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), получим:

\[ v_2 = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Чтобы упростить это выражение, мы можем умножить числитель и знаменатель выражения на \( \frac{2}{\sqrt{3}} \):

\[ v_2 = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \]

\[ v_2 = \frac{6}{3} \]

\[ v_2 = 2 \]

Таким образом, наименьшая скорость лодки относительно воды, позволяющая ей пересечь реку под углом \( \alpha = 60^\circ \) к направлению течения, составляет 2 км/ч.