Три . 1) Под каким углом к горизонту бросили шарик со скоростью 14 м/с, если модуль его импульса в верхней точке

Yascherka

54

1) Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать закон сохранения импульса. Поскольку шарик движется под углом к горизонту, мы можем разложить его импульс на две составляющие: горизонтальную и вертикальную.

Импульс можно представить как произведение массы тела на его скорость. Вертикальная составляющая импульса шарика будет равна \(m \cdot v_y\), где \(m\) - масса шарика, а \(v_y\) - вертикальная скорость.

Импульс является векторной величиной, поэтому нам дано, что модуль вертикальной составляющей импульса в верхней точке траектории шарика меньше в \(k\) раз. Это означает, что \(|m \cdot v_y| = \frac{1}{k} \cdot |m \cdot v|\), где \(v\) - скорость шарика.

Горизонтальная составляющая импульса шарика будет равна \(m \cdot v_x\), где \(v_x\) - горизонтальная скорость.

Так как горизонтальная составляющая импульса остается постоянной на всей траектории движения шарика, мы можем записать равенство горизонтальных импульсов до броска и в верхней точке траектории: \(m \cdot v_x = m \cdot v_x\). Отсюда следует, что горизонтальная скорость шарика не изменяется.

Теперь мы должны найти вертикальную скорость шарика в верхней точке траектории. Для этого мы можем использовать закон сохранения энергии. В верхней точке траектории потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию.

Мы можем записать следующее равенство энергий: \(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_y^2\), где \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота, на которую поднялся шарик.

Высоту можно выразить через начальную вертикальную скорость шарика и время подъема: \(h = \frac{v_y^2}{2 \cdot g}\).

Подставляя это значение в уравнение сохранения энергии, получаем:

\(m \cdot g \cdot \frac{{v_y^2}}{{2 \cdot g}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_y^2\).

Сокращая массу и гравитационное ускорение, получаем:

\(\frac{{v_y^2}}{{2}} = \frac{1}{2} \cdot v_y^2\).

Откуда следует, что \(v_y^2 = v_y^2\).

Теперь мы можем использовать условие задачи и получить уравнение:

\(\frac{1}{k} \cdot v = v_y\).

Решим это уравнение относительно \(v_y\):

\(v_y = \frac{v}{k}\).

Для определения угла к горизонту, под которым шарик бросили, нам необходимо найти тангенс этого угла. Тангенс угла равен отношению вертикальной скорости к горизонтальной скорости:

\(\tan(\theta) = \frac{v_y}{v_x}\).

Подставляя найденные значения вертикальной и горизонтальной скоростей, получаем:

\(\tan(\theta) = \frac{\frac{v}{k}}{v}\).

Упрощая выражение, получаем:

\(\tan(\theta) = \frac{1}{k}\).

Теперь мы можем определить угол к горизонту, под которым шарик был брошен, используя функцию обратного тангенса. Ответ округлим до тысячных и представим в радианах:

\(\theta \approx \arctan\left(\frac{1}{k}\right)\).

2) В этой задаче мы также будем использовать закон сохранения импульса. Модуль импульса лодки можно представить как произведение массы лодки на ее скорость: \(|p_1| = m_1 \cdot v_1\), где \(m_1\) - исходная масса лодки, \(v_1\) - исходная скорость лодки.

После изменения массы и скорости лодки, модуль импульса станет равным \(|p_2| = m_2 \cdot v_2\), где \(m_2\) - новая масса лодки, \(v_2\) - новая скорость лодки.

Нам дано, что масса лодки увеличивается в \(k_1\) раз, то есть \(m_2 = k_1 \cdot m_1\). Скорость лодки уменьшается в \(k_2\) раз, то есть \(v_2 = \frac{v_1}{k_2}\).

Теперь мы можем выразить соотношение между модулями импульсов до и после изменения массы и скорости:

\(\frac{|p_2|}{|p_1|} = \frac{m_2 \cdot v_2}{m_1 \cdot v_1}\).

Подставляя значения \(m_2\) и \(v_2\), получаем:

\(\frac{|p_2|}{|p_1|} = \frac{k_1 \cdot m_1 \cdot \frac{v_1}{k_2}}{m_1 \cdot v_1}\).

Масса лодки сокращается, и мы получаем:

\(\frac{|p_2|}{|p_1|} = \frac{1}{k_2}\).

Ответ округляем до тысячных:

\(\frac{|p_2|}{|p_1|} \approx \frac{1}{k_2}\).

3) В этой задаче нам необходимо найти величину отличия скорости первой ступени ракеты до и после отделения. Первая ступень массой \(m_1\) двигалась со скоростью \(v_1\). После отделения первой ступени остается вторая ступень массой \(m_2\), которая также движется со скоростью \(v_1\).

Величина отличия скорости первой ступени \(|\Delta v|\) может быть найдена с использованием закона сохранения импульса.

Модуль импульса первой ступени до отделения равен \(|p_1| = m_1 \cdot v_1\).

Модуль импульса второй ступени после отделения равен \(|p_2| = m_2 \cdot v_1\).

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до и после отделения должна быть равна:

\(p_1 = p_2\).

Подставляя найденные значения импульсов, получаем:

\(m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_1\).

Масса первой ступени сокращается, и мы получаем:

\(m_1 = m_2\).

Таким образом, величина отличия скорости первой ступени ракеты отсутствует, поскольку ее масса остается неизменной после отделения. Ответ: \(|\Delta v| = 0\).