Какая площадь имеют все квадраты, полученные последовательным соединением вершин середин сторон исходного квадрата?

Zvuk_3523

57

Для начала, важно понять, что "соединение вершин середин сторон исходного квадрата" означает соединение середин каждой стороны исходного квадрата друг с другом. Если мы продолжим эти соединения, мы получим новые квадраты внутри исходного квадрата.

Давайте рассмотрим конкретный квадрат со стороной \(a\) единиц. Если мы соединим середину верхней стороны квадрата с серединой левой стороны, мы получим один из таких внутренних квадратов. Пусть его сторона будет равна \(b\) единиц.

Чтобы найти площадь этого внутреннего квадрата, мы можем заметить, что его сторона \(b\) является половиной стороны исходного квадрата \(a\). Мы знаем, что стороны исходного квадрата равны, поэтому:

\[ b = \frac{a}{2} \]

Теперь, чтобы найти площадь внутреннего квадрата, мы просто возводим его сторону в квадрат:

\[ S_{\text{внутреннего квадрата}} = b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \]

Таким образом, площадь каждого внутреннего квадрата, полученного последовательным соединением вершин середин сторон исходного квадрата, равна \(\frac{a^2}{4}\).

Чтобы найти общую площадь всех таких внутренних квадратов, нам необходимо просуммировать площади каждого из них. Так как мы не знаем, сколько внутренних квадратов будет получено, мы можем записать общую площадь как сумму бесконечного ряда:

\[ S_{\text{всех внутренних квадратов}} = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{64} + \ldots \]

Чтобы увидеть закономерность в этом ряде, давайте рассмотрим каждое слагаемое. Мы замечаем, что каждое последующее слагаемое получается путем деления предыдущего слагаемого на 4:

\[ \frac{a^2}{16} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a^2}{4} \]
\[ \frac{a^2}{64} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a^2}{16} \]
\[ \ldots \]

Таким образом, каждое слагаемое представляет собой предыдущее слагаемое, поделенное на 4.

Мы можем записать это в виде ряда:

\[ S_{\text{всех внутренних квадратов}} = \frac{a^2}{4} \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \ldots \right) \]

Это ряд представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом \(a^2/4\) и знаменателем 1/4. Формула для суммы геометрической прогрессии состоит из двух частей: первой - \(a / (1 - r)\), где \(a\) - первый член ряда, \(r\) - знаменатель прогрессии, и второй - \(S = a(1 - r^n) / (1 - r)\), где \(n\) - количество членов ряда.

В данном случае, \(a = \frac{a^2}{4}\) и \(r = \frac{1}{4}\), поэтому формула для суммы будет:

\[ S_{\text{всех внутренних квадратов}} = \frac{\frac{a^2}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{a^2}{3} \]

Таким образом, общая площадь всех квадратов, полученных последовательным соединением вершин середин сторон исходного квадрата равна \(\frac{a^2}{3}\).