Какая площадь у прямоугольника, если его разрезали на семь квадратов одинаковой площади?

Магия_Звезд

32

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти площадь прямоугольника, разрезанного на семь квадратов одинаковой площади.

Представим прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). Мы знаем, что этот прямоугольник был разрезан на семь квадратов, каждый из которых имеет одинаковую площадь. Пусть сторона квадрата \(x\) (так как все квадраты имеют одинаковую площадь, мы обозначим их сторону одной переменной).

Теперь давайте подумаем, как связать площадь прямоугольника с площадью квадратов. У нас есть 7 квадратов, поэтому площадь прямоугольника должна быть равна семи раз размеру каждого из квадратов.

По определению площади, площадь прямоугольника равна произведению его сторон \(S_{\text{прям}} = a \cdot b\). И площадь каждого квадрата равна \(S_{\text{квад}} = x^2\).

Теперь мы можем записать уравнение, используя полученную информацию: \(S_{\text{прям}} = 7 \cdot S_{\text{квад}}\).

Подставляя значения площадей, получаем \(a \cdot b = 7 \cdot x^2\).

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти площадь прямоугольника, то есть выразить \(S_{\text{прям}}\), используя известные значения.

Давайте представим, что стороны прямоугольника выражены в виде \(a = m \cdot x\) и \(b = n \cdot x\), где \(m\) и \(n\) - целые числа, а \(x\) - сторона квадрата.

Подставим эти значения в уравнение: \(m \cdot x \cdot n \cdot x = 7 \cdot x^2\).

Упростим это уравнение дальше: \(m \cdot n \cdot x^2 = 7 \cdot x^2\).

Теперь давайте избавимся от \(x^2\) с обеих сторон уравнения, поделив его на \(x^2\): \(m \cdot n = 7\).

Таким образом, получаем, что произведение \(m \cdot n\) равно 7.

И сколько различных пар целых чисел можно получить, произведение которых равно 7? Пару можно получить только при значениях \(m = 1\) и \(n = 7\), что равносильно \(a = x\) и \(b = 7x\) или \(m = 7\) и \(n = 1\), что равносильно \(a = 7x\) и \(b = x\).

Таким образом, площадь прямоугольника может быть равна площади одного из квадратов, если его стороны могут быть равными как \(a = x\) и \(b = 7x\), так и \(a = 7x\) и \(b = x\).

Надеюсь, этот шаг за шагом решение помогло вам понять, как найти площадь прямоугольника, разрезанного на семь квадратов одинаковой площади. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!