Вариант 1 1. Доказать, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны. 2. Найдите значение ВО и отношение площадей треугольников

Zvezdopad_V_Kosmose

55

Решение:

1. Чтобы доказать, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, необходимо проверить выполнение одного из следующих условий:
- Углы при вершинах треугольников соответственно равны.
- Отношения длин соответствующих сторон равны.

Рассмотрим углы при вершинах:
Угол А и угол А1: Они являются вертикальными углами и, по свойству вертикальных углов, они равны.
Угол В и угол В1: Они также являются вертикальными углами и равны.
Угол С и угол С1: Они являются вертикальными углами и равны.

Таким образом, углы при вершинах треугольников АВС и А1В1С1 равны.

Теперь рассмотрим отношения длин соответствующих сторон:
Отношение длин сторон А1С1 и АС: \(\frac{{A1C1}}{{AC}} = \frac{{OC"}}{{OC + CC"}}\) (факторизация равной пропорции)
(где C" - пункт пересечения продолжений боковых сторон треугольников)

Отношение длин сторон В1С1 и ВС: \(\frac{{B1C1}}{{BC}} = \frac{{OC"}}{{OB + BC"}}\) (факторизация равной пропорции)

Отношение длин сторон А1В1 и АВ: \(\frac{{A1B1}}{{AB}} = \frac{{B1C1}}{{BC}}\) (по свойству параллельности)

Если выражения \(\frac{{A1C1}}{{AC}}\) и \(\frac{{B1C1}}{{BC}}\) равны, то треугольники АВС и А1В1С1 подобны.

Зная, что углы при вершинах равны, и получив равность соответствующих отношений длин сторон, мы можем сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны.

2. Для того чтобы найти значение ВО и отношение площадей треугольников ВОС и AOD, мы должны апплицировать свойства трапеции ABCD.

Согласно свойству трапеции, линия, соединяющая середины оснований (в данном случае линия ОС), параллельна боковой стороне (в данном случае стороне АD) и ее длина равна полусумме длин оснований (в данном случае оснований АС и ВD).

Также, площади треугольников, образованных диагоналями трапеции, будут равны и равны половине площади трапеции.

Поэтому, для нахождения значения ВО, нам необходимо сначала найти длины оснований АС и ВD:

Длина основания АС: В основании перпендикуляра к АС из О, образуется два прямоугольных треугольника, поэтому можно применить теорему Пифагора для них:

\(AO^2 = AD^2 - OD^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21\)

Следовательно, \(AO = \sqrt{21}\).

Аналогично, длина основания ВD также равна \(\sqrt{21}\).

Теперь мы можем использовать свойства трапеции:

\(BO = \frac{AD - BC}{2} = \frac{5 - 2}{2} = \frac{3}{2}\) см.

Теперь найдем отношение площадей треугольников ВОС и AOD:

Так как линия ОС параллельна ВС, отношение площадей треугольников ВОС и AOD равно отношению их высот.

Высота треугольника ВОС равна \(BO = \frac{3}{2}\) см, а высота треугольника AOD равна \(AO = \sqrt{21}\) см.

Следовательно, отношение площадей треугольников ВОС и AOD равно \(\frac{BO}{AO} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{21}} = \frac{3}{2\sqrt{21}}\)