Какая работа выполнена, используя силу f=yi+yj при перемещении материальной точки вдоль кривой г y = x^2 от точки а(-1

Krasavchik

41

Для решения этой задачи нам потребуется вычислить работу, используя формулу работы \(W = \int F \cdot ds\), где \(F\) - сила, действующая на материальную точку, а \(ds\) - элемент длины перехода кривой г.

В данной задаче сила \(F\) равна векторной сумме двух векторов: \(F = yi + yj\).
Мы знаем, что материальная точка перемещается вдоль кривой \(y = x^2\) от точки \(A(-1, 1)\) до точки \(B(0, 0)\). Поэтому длина \(ds\) будет равна \(\sqrt{dx^2 + dy^2}\), где \(dx\) и \(dy\) - элементы длины в направлениях осей \(x\) и \(y\) соответственно.

Для вычисления работы, нам необходимо выразить \(dx\) и \(dy\) через элемент длины \(ds\). Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[ds^2 = dx^2 + dy^2\]

Так как мы движемся только вдоль оси \(x\), то \(dy = 0\), поэтому:

\[ds^2 = dx^2\]
\[ds = dx\]

Теперь мы можем перейти к интегралу и вычислить работу:

\[W = \int_A^B F \cdot ds\]
\[W = \int_{-1}^0 (yi + yj) \cdot dx\]

Сначала мы вычислим интеграл по \(y\) и получим:

\[W = \int_{-1}^0 x^2i + x^2j \cdot dx\]
\[W = \int_{-1}^0 x^2 \, dx\]

Теперь произведем интегрирование:

\[W = [ \frac{1}{3}x^3 ]_{-1}^0 = \frac{1}{3}(0^3 - (-1)^3) = \frac{1}{3}\]

Таким образом, работа, выполненная при перемещении материальной точки вдоль заданной кривой, равна \(\frac{1}{3}\).