Какая скорость (в миллиметрах в секунду) будет иметь электрон после начала движения в однородном электрическом поле

Сквозь_Лес

61

Для решения данной задачи, нам необходимо знать значение заряда электрона и массы электрона. Заряд электрона составляет \( e = 1.6 \times 10^{-19} \) Кл, а масса электрона равна \( m = 9.11 \times 10^{-31} \) кг.

Когда заряженная частица (в нашем случае, электрон) находится в электрическом поле, на неё действует электрическая сила \( F \), которая равна произведению значения заряда \( q \) на напряженность электрического поля \( E \):
\[ F = q \cdot E \]

Эта сила создает ускорение \( a \) для частицы, которое связано со силой и массой через второй закон Ньютона \( F = m \cdot a \):
\[ q \cdot E = m \cdot a \]

Мы можем выразить ускорение через скорость, используя определение ускорения:
\[ a = \frac{{dv}}{{dt}} \]

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:
\[ q \cdot E = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} \]

Теперь мы можем разделить обе стороны данного уравнения на заряд \( q \):
\[ E = \frac{{m \cdot dv}}{{q \cdot dt}} \]

Заметим, что величина \( dt \) представляет собой бесконечно малый промежуток времени и может быть записана как \( dt = \frac{{ds}}{{v}} \), где \( ds \) - бесконечно малый промежуток пути.

Подставим это выражение:
\[ E = \frac{{m \cdot dv}}{{q \cdot \frac{{ds}}{{v}}}} \]

Теперь мы можем перегруппировать и проинтегрировать это уравнение:
\[ \int_{{v_0}}^{{v_f}} v \cdot dv = \frac{{m}}{{q}} \cdot E \cdot \int_{{s_0}}^{{s_f}} ds \]

Интегрируя по обеим сторонам, получим:
\[ \frac{{v_f^2 - v_0^2}}{{2}} = \frac{{m}}{{q}} \cdot E \cdot (s_f - s_0) \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( v_f \) (скорость конечная) и выразить её:
\[ v_f = \sqrt{{v_0^2 + \frac{{2 \cdot m}}{{q}} \cdot E \cdot (s_f - s_0)}} \]

Теперь, когда у нас есть выражение для \( v_f \), мы можем подставить значения в формулу. По условию задачи \( v_0 = 0 \), так как электрон начинает движение с покоя. Пусть начальная позиция \( s_0 = 0 \), а конечная позиция \( s_f = 1 \) м (примем за длину пути рассматриваемый участок). Также дано значение напряженности электрического поля \( E = 2.0 \times 10^5 \) В/м.

Подставим данные в формулу:
\[ v_f = \sqrt{{0^2 + \frac{{2 \cdot 9.11 \times 10^{-31}}}{{1.6 \times 10^{-19}}} \cdot 2.0 \times 10^5 \cdot (1 - 0)}} \]

Посчитаем выражение взятого под корень:
\[ v_f = \sqrt{{\frac{{2 \cdot 9.11 \times 10^{-31}}}{{1.6 \times 10^{-19}}} \cdot 2.0 \times 10^5}} \]

Теперь, применив математические операции, получим окончательный ответ:
\[ v_f = \sqrt{{\frac{{2 \cdot 9.11 \times 10^{-31}}}{{1.6 \times 10^{-19}}} \cdot 2.0 \times 10^5}} \approx 2.29 \times 10^5 \, \text{м/с} \]

Таким образом, скорость электрона после начала движения в данном электрическом поле будет примерно равна \( 2.29 \times 10^5 \) м/с.