Какая скорость вылета электронов с калия, если энергия выхода электронов составляет 2,25 эВ и он был освещен

Сладкая_Бабушка

20

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Харриота-Джексли — закон фотоэлектрического эффекта. Согласно этому закону, кинетическая энергия \(E_k\) эмитированных электронов прямо пропорциональна частоте \(f\) падающего света и может быть выражена следующим образом:

\[E_k = hf - \phi\]

где \(h\) - постоянная Планка, \(f\) - частота света, а \(\phi\) - работа выхода, которая определяет минимальную энергию, необходимую электрону, чтобы выйти из материала.

Мы можем использовать величину, которая пропорциональна частоте — длину волны света \(\lambda\), используя соотношение между частотой и длиной волны:

\[c = \lambda \cdot f\]

где \(c\) - скорость света (около \(3 \times 10^8\) м/с), \(\lambda\) - длина волны света.

Таким образом, закон Харриота-Джексли можно переписать как:

\[E_k = hf - \phi = \frac{{hc}}{\lambda} - \phi\]

Теперь мы можем решить эту задачу, используя данные, которые у нас есть. Нам дано, что энергия выхода электронов составляет \(2,25\) эВ. Чтобы привести это значение к джоулям, мы можем использовать следующее соотношение:

\[1 \, \text{эВ} = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{Дж}\]

Подставляя известные значения в уравнение, получим:

\[2,25 \times 1,6 \times 10^{-19} \, \text{Дж} = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{\lambda} - \phi\]

Константу Планка \(h\) можно округлить до \(6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}\).

Раскроем скобки:

\[3,6 \times 10^{-19} \, \text{Дж} = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{\lambda} - \phi\]

Поскольку у нас есть четыре неизвестных величины (\(E_k\), \(h\), \(\lambda\) и \(\phi\)), нам нужно еще одно уравнение, чтобы решить систему. В этой задаче у нас есть дополнительное условие, что \(E_k = 0\) (происходит только выход электрона из материала). Это означает, что будет существовать минимальная длина волны \( \lambda_{\text{мин}} \), при которой электроны начнут эмитироваться. При этой минимальной длине волны, кинетическая энергия равна работе выхода:

\[E_k = \frac{{hc}}{{\lambda_{\text{мин}}}} - \phi = 0\]

Когда кинетическая энергия равна нулю, мы можем записать:

\[\frac{{hc}}{{\lambda_{\text{мин}}}} = \phi\]

Теперь мы имеем два уравнения:

\[3,6 \times 10^{-19} \, \text{Дж} = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{\lambda} - \phi\]
\[\frac{{hc}}{{\lambda_{\text{мин}}}} = \phi\]

Мы можем решить эту систему уравнений для определения длины волны падающего света \( \lambda \) и минимальной длины волны \( \lambda_{\text{мин}} \).

Ваша задача заключается в определении скорости вылета электронов с калия, поэтому мы сконцентрируемся на отыскании длины волны \( \lambda \).

Объединим уравнения:

\[3,6 \times 10^{-19} \, \text{Дж} = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{\lambda} - \frac{{hc}}{{\lambda_{\text{мин}}}}\]

Теперь можем обратиться к условию работы выхода:

\[\phi = \frac{{hc}}{{\lambda_{\text{мин}}}}\]

Подставим в уравнение полученное значение:

\[3,6 \times 10^{-19} \, \text{Дж} = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{\lambda} - \phi\]

Округлим значение \( \phi \) до \(1,15 \times 10^{-19} \, \text{Дж}\):

\[3,6 \times 10^{-19} \, \text{Дж} = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{\lambda} - 1,15 \times 10^{-19} \, \text{Дж}\]

Теперь выразим длину волны \( \lambda \):

\[\frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{\lambda} = 4,75 \times 10^{-19} \, \text{Дж}\]

\[\lambda = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{{4,75 \times 10^{-19} \, \text{Дж}}}\]

Выполнив простые арифметические вычисления, мы получим:

\[\lambda = 1,395 \times 10^{-7} \, \text{м}\]

Теперь, когда у нас есть значение длины волны света, мы можем рассчитать скорость вылета электронов с помощью закона де Бройля (де Бройля — французский ученый, который предложил, что обычно волноподобное поведение материи можно описать формулой \( \lambda = \frac{h}{p}\), где \( p \) - импульс частицы):

\[v = \frac{p}{m}\]

где \( m \) - масса электрона \( 9,11 \times 10^{-31} \, \text{кг}\).

Для этого подставим значение импульса в выражение для длины волны, соответствующей электрону с кинетической энергией \( E_k = 2,25 \) эВ:

\[\frac{{6,63 \times 10^{-34} \cdot 3,0 \times 10^8 \, \text{м/с}}}{\lambda} = \sqrt{{2mE_k}}\]

Теперь выразим длину волны \( \lambda \) и подставим известные значения:

\[\lambda = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \cdot 3,0 \times 10^8 \, \text{м/с}}}{\sqrt{{2mE_k}}}\]

\[\lambda = \frac{{6,63 \times 3,0}}{{\sqrt{{2 \cdot (9,11 \times 10^{-31}) \cdot (2,25 \times 1,6 \times 10^{-19})}}}} \times 10^{-7}\]

Опять выполняем несложные вычисления:

\[\lambda \approx 3,165 \times 10^{-7} \, \text{м}\]

Теперь мы знаем длину волны света — \( 3,165 \times 10^{-7} \, \text{м} \), соответствующую кинетической энергии электрона \( 2,25 \) эВ. Чтобы рассчитать скорость вылета электрона, мы можем использовать уравнение де Бройля:

\[v = \frac{p}{m} = \frac{{h}}{{\lambda \cdot m}} = \frac{{6,63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}}{{3,165 \times 10^{-7} \, \text{м} \cdot 9,11 \times 10^{-31} \, \text{кг}}}\]

Выполняем арифметические операции:

\[v \approx 2,206 \times 10^6 \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость вылета электрона с калия при данной энергии выхода составляет примерно \(2,206 \times 10^6 \, \text{м/с}\).