Какая средняя ЭВС самоиндукции в неподвижной катушке с индуктивностью 0,5 Гн, если энергия магнитного поля уменьшается

Зимний_Мечтатель

35

В задаче нам задано, что энергия магнитного поля уменьшается в 4 раза в неподвижной катушке с индуктивностью 0,5 Гн. Нам нужно найти среднюю ЭМС самоиндукции.

ЭМС самоиндукции (ЭДС самоиндукции) \(E\) в катушке связана с изменением магнитного потока \(\Phi\) по закону Фарадея:

\[E = -\frac{d\Phi}{dt}\]

Где \(t\) - время. Знак минус обусловлен правилом Ленца.

Магнитный поток \(\Phi\) в катушке зависит от магнитного поля \(B\), площади поперечного сечения катушки \(A\) и угла, под которым магнитное поле пересекает это сечение \(\theta\):

\(\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)\)

В нашем случае, из условия задачи, мы знаем, что энергия магнитного поля уменьшается в 4 раза. Энергия магнитного поля связана с магнитным потоком и индуктивностью \(U = \frac{1}{2}L I^2\), где \(U\) - энергия магнитного поля, \(L\) - индуктивность и \(I\) - ток.

Если энергия магнитного поля уменьшается в 4 раза, то можно записать следующее уравнение:

\(U" = \frac{1}{2}L I"^2 = \frac{U}{4}\)

Где \(U"\) - новая энергия магнитного поля и \(I"\) - новый ток.

Раскрывая уравнение, получаем:

\(\frac{1}{2}L I"^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}L I^2\)

Упрощая и сокращая, получаем:

\(I"^2 = \frac{1}{2} I^2\)

Из этого уравнения можно сказать, что новый ток \(I"\) равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (или примерно 0,707) раза старого тока \(I\).

Теперь мы можем найти новую ЭМС самоиндукции \(E"\):

\(E" = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(B \cdot A \cdot \cos(\theta))\)

Учитывая, что \(B\), \(A\) и \(\theta\) не меняются, а только меняется ток, то можно записать:

\(E" = -\frac{d}{dt}(I" \cdot B \cdot A \cdot \cos(\theta))\)

Так как интенсивность магнитного поля \(B\), площадь поперечного сечения катушки \(A\) и угол \(\theta\) остаются постоянными, то можно вывести их за знак дифференциала:

\(E" = -B \cdot A \cdot \cos(\theta) \cdot \frac{d}{dt}(I")\)

Ранее мы выяснили, что новый ток \(I"\) равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) раза старого тока \(I\), поэтому можно записать:

\(E" = -B \cdot A \cdot \cos(\theta) \cdot \frac{d}{dt}(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot I)\)

Упрощая и раскрывая уравнение, получаем:

\(E" = -\frac{B \cdot A \cdot \cos(\theta)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dI}{dt}\)

Так как нас интересует средняя ЭМС самоиндукции, то можно записать:

\(\overline{E"} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} -\frac{B \cdot A \cdot \cos(\theta)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dI}{dt} dt\)

Где \(T\) - период времени, за который происходит изменение магнитного поля. В нашей задаче эту величину мы не знаем, поэтому избавимся от нее:

\(\overline{E"} = -\frac{B \cdot A \cdot \cos(\theta)}{\sqrt{2}} \int_{0}^{T} \frac{dI}{dt} dt\)

Так как \(\frac{dI}{dt}\) представляет собой производную тока по времени, то можно переписать интеграл как разность значений тока \(I\) в начальный и конечный моменты времени:

\(\overline{E"} = -\frac{B \cdot A \cdot \cos(\theta)}{\sqrt{2}} [I_f - I_i] \)

Где \(I_f\) - конечный ток, а \(I_i\) - начальный ток.

В задаче не указано, какие значения тока известны в начальный и конечный моменты времени. Если мы предположим, что ток уменьшился в 4 раза (как и энергия магнитного поля), то можно записать:

\(I_f = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot I\)
\(I_i = I\)

Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

\(\overline{E"} = -\frac{B \cdot A \cdot \cos(\theta)}{\sqrt{2}} [\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot I - I]\)

Упрощая и раскрывая скобки, получаем:

\(\overline{E"} = -\frac{B \cdot A \cdot \cos(\theta)}{2} [1 - \frac{1}{\sqrt{2}}]\)

Выполняя численные вычисления, получаем:

\(\overline{E"} \approx -0.293 \cdot B \cdot A \cdot \cos(\theta)\)

Таким образом, средняя ЭМС самоиндукции в неподвижной катушке с индуктивностью 0,5 Гн, если энергия магнитного поля уменьшается в 4 раза, примерно равна \(-0.293 \cdot B \cdot A \cdot \cos(\theta)\), где \(B\) - интенсивность магнитного поля, \(A\) - площадь поперечного сечения катушки, а \(\theta\) - угол, под которым магнитное поле пересекает это сечение.