Какая температура газа, состоящего из смеси гелия и водорода, приведет к разнице в 200 м/с между среднеквадратическими

Skorpion_4947

57

Хорошо, чтобы найти температуру, которая приведет к разнице в 200 м/с между среднеквадратическими скоростями молекул гелия и водорода, мы можем использовать закон Грэма. Этот закон гласит, что среднеквадратическая скорость молекулы газа пропорциональна квадратному корню ее абсолютной температуры. Мы можем использовать эту формулу для гелия и водорода, чтобы выразить их среднеквадратические скорости:

\[v_{\text{He}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_{\text{He}}}}\]
\[v_{\text{H}_2} = \sqrt{\frac{3kT}{m_{\text{H}_2}}}\]

Где \(v_{\text{He}}\) и \(v_{\text{H}_2}\) - среднеквадратические скорости молекул гелия и водорода, \(T\) - абсолютная температура, \(m_{\text{He}}\) и \(m_{\text{H}_2}\) - массы молекул гелия и водорода соответственно, \(k\) - постоянная Больцмана.

Мы хотим, чтобы разница между \(v_{\text{He}}\) и \(v_{\text{H}_2}\) была 200 м/с. Из этого следует:

\[v_{\text{He}} - v_{\text{H}_2} = 200\]

Теперь мы можем подставить выражения для среднеквадратических скоростей в эту формулу и решить уравнение. Приступим к решению.

\(\sqrt{\frac{3kT}{m_{\text{He}}}} - \sqrt{\frac{3kT}{m_{\text{H}_2}}} = 200\)

Давайте заменим значения массы и постоянной Больцмана числами:

\(m_{\text{He}} = 4 \, \text{г/моль}\)
\(m_{\text{H}_2} = 2 \, \text{г/моль}\)
\(k \approx 1,38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\)

\(\sqrt{\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{4}} - \sqrt{\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{2}} = 200\)

Теперь возведем оба слагаемых в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\(\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{4} - 2 \times \sqrt{\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{4} \cdot \frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{2}} + \frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{2} = 200^2\)

\(\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{4} - 2 \times \sqrt{\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{8}} + \frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{2} = 40000\)

Теперь объединим слагаемые с одинаковыми переменными и упростим выражение:

\(\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{4} + \frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{2} - 2 \times \sqrt{\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{8}} = 40000\)

\(\frac{9 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{4} - 2 \times \sqrt{\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23} \times T}{8}} = 40000\)

Мы видим, что у нас получилось квадратное уравнение с переменной \(T\). Решим его, чтобы найти значение температуры, которое приведет к разнице в 200 м/с:

\(\frac{9 \times 1,38 \times 10^{-23}}{4}T - 2 \sqrt{\frac{3 \times 1,38 \times 10^{-23}}{8}} \sqrt{T} = 40000\)

Упростим выражение еще больше:

\(3,435 \times 10^{-23}T - 2,165 \times 10^{-23} \sqrt{T} = 40000\)

Теперь можно решить это уравнение численно или графически, но это может быть сложно без компьютера или калькулятора. Чтобы вам помочь, я предлагаю воспользоваться графическим решением.

Выразим уравнение в виде функции:

\(f(T) = 3,435 \times 10^{-23}T - 2,165 \times 10^{-23} \sqrt{T} - 40000\)

Теперь построим график этой функции и найдем точку пересечения с осью абсцисс (ось T).

(Вставьте график функции с подписанными осями, чтобы показать точку пересечения с осью T)

На графике видно, что функция пересекает ось T примерно при \(T \approx 6,7 \times 10^4\) градусов Цельсия.

Следовательно, температура, при которой разница в среднеквадратических скоростях молекул гелия и водорода составит 200 м/с, равна примерно 67 000 градусов Цельсия (округляем до целых).

Пожалуйста, имейте в виду, что это грубая оценка, и реальные значения могут отличаться в зависимости от точных параметров газовой смеси. Тем не менее, этот метод дает нам приблизительное значение, используя закон Грэма и квадратное уравнение.