Какие будут показания на весах, если на них стоит сосуд с жидкостью, частично заполненный, и в него опускается брусок

Золото

46

Для решения данной задачи будем использовать принцип Архимеда, который гласит: "Всякое тело, погруженное в жидкость, теряет вес, равный весу вытесненной им жидкости".

Предположим, что плотность жидкости равна \(x\) г/см\(^3\).

Из условия задачи известно, что масса сосуда с жидкостью составляет 410 г и масса бруска – 1,2 г.

Обозначим объем жидкости, которым частично заполнен сосуд, как \(V\) см\(^3\).

Также, по условию, плотность материала бруска вдвое больше плотности жидкости. Значит, плотность материала бруска равна \(2x\) г/см\(^3\).

Теперь рассмотрим две ситуации: до опускания бруска в сосуд и после опускания бруска.

1. До опускания бруска:
Масса сосуда с жидкостью равна 410 г, значит, вес сосуда с жидкостью равен 410 г на Земле и \(4,1\) Н.
Объем жидкости в сосуде до опускания бруска равен \(V\) см\(^3\), а масса этой жидкости равна \(V \cdot x\) г.
По принципу Архимеда, вес вытесненной жидкости равен весу сосуда с жидкостью. То есть,
\[V \cdot x \cdot g = 4,1\ массы сосуда\ и\ жидкости,\]
где \(g\) – ускорение свободного падения, приближенно равное 9,8 м/с\(^2\).
Отсюда можно выразить объем жидкости \(V\) через известные величины:
\[V = \frac{{4,1}}{{x \cdot g}}\ см^3\]

2. После опускания бруска:
Масса сосуда с жидкостью и бруском равна 410 г + 1,2 г = 411,2 г, что соответствует весу на Земле равному \(4,112\) Н.
Объем жидкости в сосуде после опускания бруска уменьшится на объем бруска (так как брусок займет свое место в жидкости).
То есть, новый объем жидкости равен \(V - \frac{{1,2}}{{x}}\) см\(^3\).
Этот новый объем жидкости будет оказывать поддерживающую силу на брусок, равную весу бруска.
Вес бруска равен его массе, умноженной на ускорение свободного падения:
\(1,2 \cdot g\) Н.
По принципу Архимеда, эта поддерживающая сила равна весу вытесненной жидкости. То есть,
\((V - \frac{{1,2}}{{x}}) \cdot x \cdot g = 1,2 \cdot g\)
Отсюда мы можем выразить новый объем жидкости в зависимости от известных величин:
\(V - \frac{{1,2}}{{x}} = \frac{{1,2}}{{x}}\)
\(V = \frac{{2,4}}{{x}}\) см\(^3\)

Итак, у нас получилось два выражения для объема жидкости \(V\):
\(\frac{{4,1}}{{x \cdot g}}\) см\(^3\) и \(\frac{{2,4}}{{x}}\) см\(^3\).
Они равны между собой, так как это один и тот же объем жидкости:
\[\frac{{4,1}}{{x \cdot g}} = \frac{{2,4}}{{x}}\]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\).

\[\frac{{4,1}}{{x \cdot 9,8}} = \frac{{2,4}}{{x}}\]

Перемножим оба числителя и оба знаменателя:

\[4,1 \cdot x = 2,4 \cdot 9,8\]

Рассчитаем это:

\[4,1 \cdot x = 23,52\]

Чтобы найти значение \(x\), поделим обе части уравнения на 4,1:

\[x = \frac{{23,52}}{{4,1}}\ г/см^3\]

Рассчитаем также объем жидкости \(V\):

\[V = \frac{{4,1}}{{x \cdot 9,8}}\]

Подставим значение \(x\):

\[V = \frac{{4,1}}{{\frac{{23,52}}{{4,1}} \cdot 9,8}}\ см^3\]

Рассчитаем это:

\[V \approx 0,0772\ см^3\]

Таким образом, после того, как брусок будет опущен до половины своего объема, показания на весах будут равны сумме массы сосуда с жидкостью и массы вытесненной жидкости.

Масса сосуда с жидкостью составляет 410 г, а масса вытесненной жидкости равна массе жидкости, чей объем равен \(V \approx 0,0772\) см\(^3\) и плотность \(x = \frac{{23,52}}{{4,1}}\) г/см\(^3\).

Таким образом, показания на весах составят:

\(410\) г + масса вытесненной жидкости.

Рассчитаем массу вытесненной жидкости:

Масса вытесненной жидкости = объем вытесненной жидкости \(\cdot\) плотность вытесненной жидкости.

Объем вытесненной жидкости равен объему жидкости, которым заполнен сосуд, за вычетом объема бруска:
\(V - \frac{{1,2}}{{x}} \approx 0,0772 - \frac{{1,2}}{{\frac{{23,52}}{{4,1}}}}\) см\(^3\)

Подставим значения в формулу:

Масса вытесненной жидкости \(\approx\) объем вытесненной жидкости \(\cdot\) плотность жидкости:
\(M_{\text{вытесн.ж.}} \approx (0,0772 - \frac{{1,2}}{{\frac{{23,52}}{{4,1}}}}) \cdot \frac{{23,52}}{{4,1}}\) г

Теперь рассчитаем это:

\(M_{\text{вытесн.ж.}} \approx 0.098\) г

Таким образом, показания на весах составят:

\(410\) г + \(0,098\) г = \(410,098\) г

Ответ: Показания на весах будут составлять 410 граммов.